安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题(8)

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（4） 确定变化趋势 根据G(j?)的表达式，当? ?x 时，Im[G(j?)] > 0。作系统概略幅相曲线如图5-63所示。

图5-2 系统概略幅相曲线

例5-3 系统的开环传递函数为G(s)?N，试用乃氏判据判断系统的稳定性。

s(T1s?1)(T2s?1)解：（1） 绘制系统的开环概略幅相曲线： ① 组成系统的环节为一个积分环节、两个惯性环节和比例环节。 ② 确定起点和终点G(j?)??N(T?1T2)??jN(1??2T1T2)?(1?T1?)(1?T2?)2222

??0limRe[G(j?)]??N(T1?T2) limIm[G(j?)]??? limG(j?)?0

??0??????lim?G(j?)??270? 图5-3 系统概略幅相曲线

③ 求幅相曲线与负实轴的交点

令Im[G(j?)] = 0，得?x?1/T1T2，Re[G(j?x)]??NTT12

T1?T2④ 组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故?(?)单调地从?90?递减至?270?。作系统的概略幅相特性曲线如图5-3所示。

（2）用乃氏判据判断系统的稳定性

由于组成系统的环节为最小相位环节，P = 0；且为Ⅰ型系统，故从? = 0处补作辅助线，如图5-3虚线所示。

NT1T2T?T2??1时，即N?1当?，幅相特性曲线不包围(?1，j0)点，所以闭环系统是稳定的。

T1?T2T1T2当?NT1T2T?T??1时，即N?12，幅相特性曲线顺时针包围（?1，j0）点1圈，R = ?1，Z =P ?2N = 2 ?

T1?T2T1T20，所以系统是不稳定的。

例5-4 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-4所示。要求： （1）写出系统开环传递函数；

（2）利用相位裕度判断系统稳定性；

（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。

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图5-4 开环对数幅频特性

解：（1）由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率0.1和20，故

G(s）?K

s(s/0.1?1)(s/20?1)K10且 20lg? 0得 K = 10

?所以 G(s）10

s(s/0.1?1)(s/20?1)（2）系统开环对数幅频特性为

10?20lg???0.1??1?L(?）??20lg2 0.1???20

???20lg20??20??3?从而解得 ?c = 1

系统开环对数相频特性为?(?)??90??arctan?0.1?arctan?20，?(?c) = ?177.15?，? =180? ? ?(?c) = 2.85?

故系统稳定。

（3）将系统开环对数幅频特性向右平移十倍频程，可得系统新的开环传递函数

G1(s）?100

ss(s?1)(?1)200?c1200??177.15?，? 1 =180?+ ?1(?c1) = 2.85?，? 1 = ?

其剪切频率?c1 =10?c =10

而?1(?c1)??90??arctan?c1?arctan系统的稳定性不变。

由时域估计指标公式ts = k? /?c,得 ts1 = 0.1ts

即调节时间缩短，系统动态响应加快。由Mp?0.16?0.4(1?1),得Mp1 = Mp sin?即系统超调量不变。

例5-5 单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段直线如图5-5所示。若要求系统具有30?的相位裕度， 试计算开环放大倍数应增大的倍数。

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图5-5 闭环对数幅频特性

解：由闭环对数幅频特性曲线可得系统闭环传递函数为

1 G(s）?ss(s?1)(?1)(?1)1.255因此系统等效开环传递函数

G(s）??(s)6.25??1??(s)s(s?2.825)(s?4.425)s(s?2.825?arctan0.5s?1)(?1)2.8254.425

其对数相频特性为

?(?）??90??arctan?4.425

若要求?(?1) = ?150?，可得?1 = 2.015

系统对数幅频特性曲线为

0.5?20lgka???2.825??1.4125?L(?）??20lgka 2.825???4.425 2???20lg6.25ka??4.425??3?要使系统具有30?相角稳定裕度，?1应为剪切频率，有

0.5ka?1?1，则ka = 4.03；故系统开环放大倍数应增

大4.03倍。

例5-6 系统开环频率特性分别为如图5-6的(a)和(b)所示，试判断闭环系统的稳定性。

图5-6 系统开环频率特性

解：（a）图给出的是? ?(-∞，0)的幅相曲线，而? ?(0，+∞)的幅相曲线与题给曲线对称于实轴，如图5-7所示。因为? = 1，故从? = 0的对应点起逆时针补作?/2，半径为无穷大的圆弧。在(?1，j0)点左侧，幅相曲线逆时针、顺时针各穿越负实轴一次，故N? = N ? = 1，N = N? ? N ? = 0因此，s右半平面的闭环极点数

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Z = P ? 2N = 0，闭环系统稳定。

图5-7

（b）因为? = 2，故如图(b)中虚线所示在对数相频特性的低频段曲线上补作2倍.90?的垂线。

当? ＜?c时，有L(?) > 0，且在此频率范围内，?(?)穿越 ?180?线一次，且为由上向下穿越，因此N+ =0 ，N ? =1，N = N+ ? N ? = ?1 于是算得右半平面的闭环极点数为Z = P ? 2N = 2，系统闭环不稳定。 例5-7系统的开环传递函数为G(s)H(s)?K s(s?1)(0.1s?1)(1) 当K?5时，在试图8的坐标纸上，绘制系统的开环对数幅频特性的大致图形； (2) 求开环剪切频率?c和相角裕度?；

(3) 用频率分析法求出系统处于临界稳定状态的K的值。

图5-8

解：

(1) 绘制系统的开环对数幅频特性的大致图形如图5-8所示； (2) K?5时系统的开环对数幅频特性为

??5 ??15 ?20lg20lg ? 1????????5L(?)??20lg2 1???10 化简 L(?)??20l5g ? ? ? 1102?????20lg5 10???20lg50 10??3??0.1??3??令L(?)?0 ??c?5 ?(?)??90??arctan??arctan0.1?

??90??arctan1.1?21?0.1??(?c)??90??arctan1.1?21?0.1???180???(?c)?11.5?

?c???90??arctan1.1?5??90??arctan2.2?5??168.51?

1?0.55(3) 系统处于临界稳定状态时，??180???(?c)?0?，A(?c)?1

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?(?c)??90??arctan1.1?2??180? ??c?10 1?0.1?方法一：A(?c)?K?1?K?11（精确值） 22???10.01??1???c方法二：系统的开环对数幅频特性为 ?K?20lg? ??1??L(?)??20lgK2 1???10

???20lg10K 10????3?L(?c)?20lgK2??0?K?10（近似值）

???c例5-8 对于某单位反馈最小相位系统，其开环传递函数G0(s)的折线对数幅频特性如图5-9所示。 1）在图中标出其K?； 2）写出开环传递函数G0(s)；

3）求出开环截止角频率?c及此时的相位稳定裕量?。

L(ω)

-20dB/dec

44dB

-40 dB/dec

0.5 1.0 ω 0.01 0.05 0.1 -60 dB/dec -40 dB/dec 图5-9 解：

1）K?如图中虚线与?轴交点所示； 2）由给出的对数幅频特性图可知G0(s)?K(s?1)

s(s0.05?1)(s0.5?1)

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