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C1sC1s11???R2R1C2sR2C1s?1C2sR2C1s?1R1R2C1C2s2?(R1?R2)C1s?1 ??2C1s11R1R2C1C2s?(R1C2?R2C1?R1C1)s?11???R1C2sR2C1s?1C2s例2-11 已知系统的信号流图如图2-16所示，试求传递函数C(s)/ R(s)。
解： 单独回路4个，即
?La??G1?G2?G3?G1G2
图2-16 信号流图
两个互不接触的回路有4组，即
?LLbc?G1G2?G1G3?G2G3?G1G2G3
三个互不接触的回路有1组，即于是，得特征式为 ??1??LLLdeff??G1G2G3
?L??LL??LLLabcde ?1?G1?G2?G3?2G1G2?G1G3?G2G3?2G1G2G3
从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 P1?G1G2G3K，?1?1；P2?G2G3K，?2?1?G1；P3?G1G3K，?3?1?G2；P4??G1G2G3K，?4?1 因此，传递函数为
G2G3K(1?G1)?G1G3K(1?G2)C(s)P1?1?P2?2?P3?3?P4?4?? 1?G1?G2?G3?2G1G2?G1G3?G2G3?2G1G2G3R(s)?
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第三章 线性系统的时域分析
例3-1已知四个二阶系统的闭环极点分布图如图3-1所示，试填写试表1，并简要说明理由。注：各栏分别填写 高、低；大、中、小；快、慢。
j?32组别 表3-1
项目 系 统 振荡频率 （高、低） 1 低 高 低 高 低 低 阻尼系数 （大、中、小） 中 小 中 中 中 大 衰减速度 （快、慢） 慢 慢 慢 快 慢 快 41Ⅰ 0?Ⅱ 2 1 4?1?3 1 3?2?Ⅲ 4 图3-1
j?32
答：二阶系统传递函数的标准形式为
2?nC(s)?，从闭环极点的分布图可知2R(s)s2?2??ns??n系统为欠阻力状态，即0???1，方程有一对实部为负的共轭复根s1,2????n?j?n1??，系统时241?2间响应具有衰减振荡特性。系统的振荡频率?d高低取决于闭环极点的虚部大小（离实轴的距离，距离越大，振荡频率越高，距离越小，振荡频率越低）；阻力系数大小?取决于?1,2,3大小，??cos?；衰减速度快慢取决于闭环极点的实数部大小（离虚轴的距离，距离越大，衰减速度越快，距离越小，衰减速度越慢）；
例3-2 已知系统结构图如图3-2所示，试求
?44??101??3?2?N(s)KR(s)???2s?510++1s?1C(s)
图3-2
（1）无虚线所画的前馈控制时，求传递函数C(s)N(s)； （2）设n(t)阶越变化?（?设为定值），求C(s)的稳态变化；
（3）若加一增益等于K的前馈控制，如试图6中虚线所示，求C(s)N(s)，并求N(s)对C(s)稳态值影响最小时K的最适值。 解：（1）无虚线所画的前馈控制时
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1C(s)P?s?1?11??2s?5 N(s)?1?12?10s?6s?25s?1s?5(2) n(t)阶越变化?时，C(s)的稳态变化即为扰动稳态误差的终值esn
esn?limsEn(s)，n(t)??，N(s)? ?
s?0s1?(s?5)s?1En(s)?N(s)?n(s)? ? ?2
s1?12?10s(s?6s?25)s?1s?5?(s?5)esn?limsEn(s)?lims? ? 2s?0s?0s(s?6s?25)5(3)加一增益等于K的前馈控制 C(s)k?1?N(s)??Pk?k21?12?10K?5?20K ?s?1s?1s?5?s2s?6s?251?12?10s?1s?5当扰动稳态误差的终值esn最小时，N(s)对C(s)稳态值影响最小 esn?limsEn(s)?limss?0s?0?(s?5?20K) ?(5?20K) ? 225s(s?6s?25)令esn?0 ? 5?20K?0即K?0.25
例3-3 控制系统的结构图如图3-3所示。假设输入信号为r(t)=at (a为任意常数)。证明：通过适当地调节
R(s)
Kis+1
K
s(Ts?1)C(s)
图3-3 控制系统的结构图
Ki的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。 证明：系统的闭环传递函数为
K(Kis?1)C(s) ?R(s)s(Ts?1)?K?Ts2?s?KKis?K(Kis?1)?R(s)，因此R(s)?C(s)??即 C(s)???R(s) 22Ts?s?K?Ts?s?K?当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为
?Ts2?s?KKis?aa(Ts?1?KKi)ess?lims???lim?2s?02s?0Ts?s?KTs2?s?K??s
a[Ts?(1?KKi)]a(1?KKi)?lim?2s?0KTs?s?K要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0，必须满足1?KKi?0，所以Ki?1/K 例3-4考虑一个单位负反馈控制系统，其开环传递函数为G(s)?K。希望闭环系统所有特征根位
s(Ts?1)于s平面上s??2的左侧区域，且阻尼比?不小于0.5, 试求K, T的取值范围，并在T-K的直角坐标图上画出K, T的取值范围。
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解：
?(s)?C(s)KKT ?2?2R(s)Ts?s?Ks?sT?KT2??n?KT?1????0.5 即TK?1 ?2??n?1T?2TK?系统的特征方程为D(s)?Ts2?s?K
要使闭环系统所有特征根位于s平面上s??2的左侧区域，令s?z?2
D(z)?T(z?2)2?z?2?K?Tz2?(1?4T)z?4T?2?K
由劳斯判据可知
T?0 1?4T?0 4T?2?K?0
1TK??1 TK?1 综上可知：K, T的取值范围为0?T? 40.52在T-K的直角坐标图上画出K, T的取值范围略。
例3-5 考虑一个单位负反馈三阶系统，其开环传递函数G(s)的分子为常数，要求：①在r(t)?t作用下的稳态误差为1.2；②三阶系统的一对闭环主导极点为s1,2??1?j1；试求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。 解：G(s)?KK? 2s(s?1?j1)(s?1?j1)s(s?2s?2)K2 5 ?1.2?K? ess?
2K3r(t)?t K??limsG(s)?s?1G(s)?K53 ?s(s?1?j1)(s?1?j1)s(s2?2s?2)K(s?1)
s3?as2?2s?11例3-6 某单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)?若系统以??2rads的频率作等幅振荡，试利用劳斯判据求K和a的值。
解：由题意知系统必具有共轭纯虚根s1,2??j2，对应劳斯表中s 行各元素均为零。 系统特征方程为D(s)?s3?as2?(2?K)s?(1?K)?0 劳斯表为
s3s2s11a1?K2?K?a1?K2?K1?K
s0令2?K?1?K?0，同时由s2行构成的辅助方程as2?(1?K)?0，将s1,2??j2代入上式 a?4a?1?K?0，联立可解得K?2，a?0.75
例3-7 设系统如图3-4所示，试求：①当a?0,K?8时，确定系统的阻尼比?，无阻尼自然振荡频率?n和
r(t)?t作用下系统的稳态误差；②当K?8,??0.7时，确定参数a值及r(t)?t作用下系统的稳态误差；③在保证??0.7,essr?0.25的条件下，确定参数a和K。
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R(s)E(s)??Ks(s?2)C(s)as
图3-4
解：系统的开环传递函数为G(s)?闭环传递函数为?(s)?KK?2
s(s?2)?aKss?(2?aK)sK 2s?(2?aK)s?K2n1????0.354????8?822① 当a?0,K?8时?(s)?2， ???s?2s?82??n?2?????22?2.828?nr(t)?t K??limsG(s)?s?1K1?4 ess??0.2 52?aKK?② 当K?8,??0.7时?(s)?8，
s2?(2?8a)s?82??n?8??n?10.7?22?1???0.245 ??a?442??n?2?8a??G(s)?88? 22s?3.96ss?2?0.7?22s813.96 ess???0.49 53.96K?8r(t)?t K??limsG(s)?s?1③ 在保证??0.7,essr?0.25的条件下 （过程略）a?0.168和K?31.36
K。根据如下条件：①在r(t)?t的作用下，e(t)s?(s?a)的稳态值为0.25。②在r(t)?10sin4t的作用下，系统稳态输出（c(t)）的幅值为2。求K,?,a。
例3-8 反馈控制系统如图3-5所示，其中G(s)?r(t)e(t)?G(s)c(t)(s?1)图3-5
解：闭环传递函数为?(s)?
KK? ???1?s(s?a)?K(s?1)s?as?Ks?K闭环系统稳定的条件为????1 a?0 K?0
???2 a?0 K?0 aK?K?0?a?1 K?0??K1s??1?as?G(s)? (，H(s)?s?1) ?(s)?R(s)????1R(s)???s(s?a)1?G(s)H(s)?s?as?Ks?K?r(t)?t时，由终值定理可得
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