安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题(5)

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Lc(?c)?20lg10(0.5j?1)

1?5j若要重新选择k ，T值，使? 提高45?。 设Gc1(s)?k1(T1s?1)

s?1当?c = 5时， 图6-3

?c1(?c) = arctan(T1?c) ? arctan(?c) Lc1(?c)?20lgk1(j5T1?1)

1?5j由 ?c1(?c)= ?(?c) ? 45?

可得 arctan(T1?c)= arctan(0.1?c) ? 45? 即 T1 = 0.6

另外，在增大? 的同时，要Gc (s)?s=j? 保持的幅值不变，才能不改变系统截止频率，因此 Lc1(?c) = Lc (?c)

20lgk1(j5T1?1)10(j0.5?1) ?20lg1?5j1?5j从而解出 k1 = 3.54。

例6-8 设复合控制系统如图6-4所示，图中Gn(s)为顺馈传递函数，Gc(s)=kt?s为测速电机及分压器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通路中环节的传递函数，N(s)为可测量的干扰。若G1(s)= k，G2(s)=1/s2，试确定Gn(s)，Gc(s)和k1，使系统输出量完全不受干扰n(t)的影响，且单位阶跃响应的超调量等于25%，峰值时间为2s。

解 当R(s) = 0时，令C(s) = 0 得

GnG2N(s)?N(s)?0

1?G1G2GcGnG2??1

1?G1G2Gc所以

已知G1(s)= k，G2(s)=1/s2，闭环传递函数特征方程 图6-4 G1G2?G1G2Gc?1?0

由Mp% = 25%，tp = 2，求得理想闭环极点 s1,2??1.75?j4

d(s)?(s?s1)(s?s2)?s2?1.36s?2.93 由系统特征方程得 k1k1?2kt?s?1?0 2ss用长除法可得k1=2.93，kt? = 0.47

1?G1G2GcGn????s2?1.37s

G2所以 G c = 0.47s Gn = ?s2 ?1.37s k1 = 2.93

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第七章 非线性系统的分析

a?例7-1非线性系统如图7-1所示。已知带死区的继电器特性的描述函数N(X)? 4b 1????，负倒?X?X?描述函数?1N(X)特性曲线如试图7-2，应用描述函数法分析当a?1、b?3，K?2时系统的稳定性，若系统自振，求自振的振幅和频率。

r?0e2b?a0-a?bK s(0.5s?1)(s?1) c

图7-1

a?X?2a????1???a2bN(X)ImXP?2a0Re??X?2a????1???a2bN(X)P??a2b

图7-2

解：当a?1、b?3时，负倒幅函数为? 1 ?N(X)??X?1?4?31????X?2

由试图10可知，?1N(X)的极值发生在XP?2处，其值为?系统线性部分的频率特性为

2 2 G(j?)??23j?(0.5j??1)(j??1)?1.5??j(?0.5???)令Im[G(j?)]?0，得

?0.5?3???0???2 rad/s

????????0.523

2?36 2?b a ?Re[G(j?)]??2? 2 ?1.5?2??0.667

??2则G(j?)曲线与负实轴的交点坐标为(?0.667 , j0)。由于? 1 位于负实轴上?0.532～??之间，所以

N(X) 1 G(j?)与? 1 两条曲线必然相交，在同一个坐标点(?0.667 , j0)上对应着负倒幅函数?两个不同

N(X)N(X)的X值，由

Re[G(j?)]??2?? 1

N(X)1??X??? ?X1?1.11 , X2?2.3

21.5?1?121????X?容易判断，当X?2.3时系统产生稳定的自持振荡，振荡频率为??2 rad/s 振幅为X?2.3

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例7-2非线性系统方框图如图7-3所示。已知理想继电器特性的描述函数为N(X)? 4M ，若要求系

?A统自持振荡的角频率为??1，振荡幅值为A?1，求参数T和M之值。

3r-eM0?M10 s(s?1)(Ts?1) c

图7-3

解：理想继电器的负倒幅特性为?以?1/N(A)特性为整个负实轴。

1???A，当A?0，?1/N(A)?0；当A??，?1/N(A)???，所

4MN(A)系统线性部分的频率特性为? G(j?)?1010 （1） ?2j?(j??1)(jT??1)??(T?1)?j?(1?T?2)10?(T?1)??12令Im[G(j?)]?0，得???1T rad/s 将??1T代入式（1），得?Re[G(j?)]??1G(j?)??1/N(A)的交点有? Re[G(j?)]??1T??T??10T

T?1T??1

N(A)即? ?10T???A

T?14M要求系统自持振荡的角频率为??1，振荡幅值为A?1，则T?3， M???0.1

4?7.53例7-3 具有饱和非线性的控制系统如图7-4所示，问：（1）试分析系统的稳定性？（2）为了使系统不产

生自持振荡，系统应如何调整？??

r(t)?02?1-01?2k s(0.1s?1)(0.2s?1) c(t)图7-4?

图7-5 G(j?)曲线与?1/N(A)曲线

2S1?S?(A?S)，其中，K?2，S?1，则??1S解：饱和非线性的描述函数为?N(A)=2K? sin????AAA????1?? 2N(A)??1114?sin?1?1?AAA???????安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 49 页 共 54 页

起点A?1时，?1??0.5，当A??，?1???，因此?1曲线位于?0.5～??这段负实轴上。

N(A)N(A)N(A)系统线性部分的频率特性为

k[?0.3??j(1?0.02?2)]k G(j?)??s(0.1s?1)(0.2s?1)s?j??[0.0004?4?0.05?2?1]令Im[G(j?)]?0，即1?0.02?2?0，得G(j?)曲线与负实轴交点的频率为? 1?7.07 rad/s

0.02代入Re[G(j?)]，可求得G(j?)曲线与负实轴的交点为

???0.3k??0.3k 424.50.0004??0.05??1??7.07（1）将k?15代入上式，得Re[G(j?)]=-1。图7-5绘出了k?15时的G(j?)曲线与?1/N(A)曲线，两曲线交于（-1，j0）点。显然，交点对应的是一个稳定的自持振荡，根据交点处幅值相等，即 Re[G(j?)]=??2??11?114?sin?1?AAA???????1

求得与交点对应的振幅A?2.5。因此，当k?15时系统处于自持振荡状态，其振幅A?2.5，振荡频率为

??7.07rad/s。?

（2）欲使系统稳定地工作，不出现自持振荡，由于G(s)极点均在s平面左半部，故根据推广的乃奎斯特稳定性判据判断非线性系统的稳定性和确定系统是否存在自持振荡的结论，应使G(j?)曲线不包围?1N(A)曲线，即??0.3k??0.5，故k的临界值为?k临界?0.5?4.5?7.5。

4.50.3因此，为了使系统不产生自持振荡而稳定工作，系统的k值最大调整到7.5。?

例7-4含间隙特性的非线性系统的方框图如图7-6所示，其中，间隙特性参数k?1以及线性部分的传递函数为G1(s)G2(s)?1.5，试加线性校正环节G(s)，以消除间隙特性系统的自持振荡。

cs(s?1)2erG1(s)MGc(s)hm??0k?m?G2(s)c-

图7-6 含间隙特性的非线性系统的方框图

解：串联校正方案?

G2(j?)及k?1的间隙特性的负倒幅特性画在Nichols图上，如图7-7所示。从图7-7上看出，将曲线G1(j?)G2(j?)与?1/N(A)有两个交点b1及b2，曲线G1(j?)由乃奎斯特稳定性判据判断非线性系统的稳定性和确定系统是否存在自持振荡的结论可知：b1为稳定交点，它代表实际存在于系统中的自持振荡，其参数由图中?及??0.84rad/s；b2为不稳定交点。由此可见，当间隙特性的正弦输入初始振幅大于查出A?6.25A?1.22?时，在间隙特性的输入端将出现振幅A?6.25?及角频率??0.84rad/s的自持振荡；当初始振幅小于A?1.22?时，间隙特性的输入振幅向A??收敛。?

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3020lgG1(j?)G2(j?) (dB)2520151050 ? ?0.16A??0.84?1N(A) ? ?0.82A??0.3b2G1(j?)2G(j?)?1.5j?(j??1)21N(A)b120lg?5?10?180??170??160??150??140??130??120??110??100??90??( ? )

图7-7 曲线G1(j?)G2(j?)与?1/N(A)

3020lgG(j?) (dB)2520151050?1N(A)20lg1N(A)G(j?)?5?10?180??170??160??150??140??130??120??110??100??90??( ? )

图7-8 含间隙特性串联校正的Nichols图

G2(s)的形状，使其与?1/N(A)脱离接触，并使?1/N(A)不为通过加校正环节Gc(s)以改变G1(s)G1(j?)G2(j?)Gc(j?)曲线所包围，即在G(j?)?G1(j?)G2(j?)Gc(j?)的上方，从而达到消除自持振荡并确

保系统稳定的目的。为此，初选超前校正环节为Gc(j?)?1?0.8s，这时，校正系统的线性部分频率响应

1?0.4s1?j0.8?1.5为?G(j?)?G1(j?)。将曲线G(j?)与?1/N(A)画在Nichols图上，G2(j?)Gc(j?)? ? j?(j??1)21?j0.4?如图7-8所示。从图上看到，由于加校正后系统线性部分的频率特性G(j?)完全置于间隙特性的负倒幅特性?1/N(A)之下，故校正后的系统是稳定的，达到了校正的目的。?

例7-5 已知含间隙特性的非线性系统如图7-9所示。当间隙特性参数k?1及??1时，自持振荡的振幅A0?6.25及角频率?0?0.84rad/s。要求通过强迫振荡将该系统的振荡振幅及角频率调整到A1?2及

?1?2rad/s上来，试确定外加正弦信号的振幅R。设G(j?)?G1(j?)G2(j?)。

rem-1 s?1 ??0k?m?1.5 s(s?1) G2(s)cG1(s)N(A)

图7-9 含间隙特性非线性系统方框图

解：将G1(j?)、G(j?)，?1绘于图7-10中，从图中分别求出??2及A?2时的向量

1 1N(A)

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