《数字信号处理》第三版高西全版课后习题答案(5)

7. 假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)?Ha(s)s?z?1z?1，

数字滤波器H(z)的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。 （1）w?0 (低通)； （2）w??（高通）；

（3）除0或?外的某一频率（带通）。 解：

按题意可写出

H(z)?Ha(s)z?1 z?1s?故

s?j??z?1z?1z?ejw?eejwjw?1?1cos?jw2?jcotww2sin2

即

??cotw2

原模拟低通滤波器以??0为通带中心，由上式可知，??0时，对应于w??，故答案为（2）。

9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2?rad时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3?到?之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采

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样间隔T=1ms。 解：

本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：

wp?0.2?rad,ap?1dBws?0.3?rad,as?10dB

采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：

?p??s?wpTwsT?0.2??1000?200?(rad/s),ap?1dB?0.3??1000?300?(rad/s),as?10dB

（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数Ha(p)：

N??lgksplg?sp

?1?0.1696

ksp?10100.1ap0.1as?1?1?s?p?100.1110?1300?200??sp???1.5

N??lg0.1696lg1.5?4.376

取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：

Ha(p)?14

pk)?4?(p?k?0p0??0.3090?j0.9511?pp1??0.8090?j0.5818?p

?3 42

p2??1

将Ha(p)部分分式展开：

4Ha(p)??k?0Akp?pk

其中，系数为：

A0??0.1382?j0.4253,

A1??0.8091?j1.1135,

A2?1.8947,

A3??0.8091?j1.1135, A4??0.1382?j0.4253

（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。

我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率?。

c?c??s(100.1as?12N?1)?300?(10?1)?110?756.566(rad/s)

Ha(s)?Ha(p)p?s?c4??s??k?0?cAkpck??s?s

k?0k4Bk其中Bk??cAk,sk??cpk。

（3）用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)：

4H(z)??1?ek?0BkskTz,T?1ms?10s?1?3

4??k?0Bk1?e10?3skz?1

我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，

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部分分式展开求解系数A或B相当困难，所以实际工作中用得很少，

kk主要采用双线性变换法设计。

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