16. 已知:
X(z)?1?312z?1?21?2z?1
求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：
三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z?0.5时，
12?jn?1x(n)???zcX(Z)zdz
令F(z)?X(z)zn?1?5?7z?1?1n?1?1(1?0.5z)(1?2z)?5z?7(z?0.5)(z?2)zn
n?0，因为n??1，C
c内无极点，x(n)=0；
内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留
?2，那么
数，圆外极点有z1?0.5,z2(5z?7)znx(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2] ?(z?0.5)z?0.5(z?0.5)(z?2)?(5z?7)zn(z?0.5)(z?2)(z?2)z?2
1nn ??[3?()?2?2]u(?n?1)2（2）当收敛域0.5?z?2时，
(5z?7)znF(z)?(z?0.5)(z?2)
n?0，C内有极点0.5；
1nx(n)?Res[F(z),0.5]?3?()2
16
n?0，C
内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留
数，c外极点只有一个，即2，
x(n)??Res[F(z),2]??2?2u(?n?1)n
最后得到x(n)?3?(12)u(n)?2?2u(?n?1)
nn（3）当收敛域2?z时，
F(z)?(5z?7)zn(z?0.5)(z?2)
n?0，C内有极点0.5，2；
1nnx(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?3?()?2?22
n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到
1nnx(n)?[3?()?2?2]u(n)2
17. 已知x(n)?anu(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）a?nu(?n)的z变换。 解：
（1）X(z)?ZT[a?nu(n)]??n???au(n)zn?n?11?az?1,z?a
（2）ZT[nx(n)]??zddzX(z)?az?1?12(1?az),z?a
17
（3）ZT[a???n?u(?n)]??n?0a?nz?n??n?0az?nn11?az,z?a?1
18. 已知X(z)??3z2?5z?1?1?2z?2，分别求：
；
（1）收敛域0.5?（2）收敛域z解：
z?2对应的原序列x(n)?2对应的原序列x(n)。
x(n)?12???j?1cX(z)zn?1dz
?3?znF(z)?X(z)zn?1??3z2?5z?1?2z?2zn?1?2(z?0.5)(z?2)
（1）当收敛域0.5?z?2时，n?0，c内有极点
n?n0.5，
x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5?2,n?0,
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
x(n)??Res[F(z),2]?2n,
最后得到
x(n)?2?nu(n)?2u(?n?1)?2n?n
（2（当收敛域zn?0,c
?2时，
内有极点0.5,2,
x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]
?0.5?n?3?znn2(z?0.5)(z?2)(z?2)z?2
n?0,c
?0.5?2n
内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留
18
数,可是c外没有极点,因此x(n)?0, 最后得到
x(n)?(0.5n?2n)u(n)
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1，
试：
（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：
（1）用卷积法求y(n)
?y(n)?h(n)?x(n)??bmu(m)an?mu(n?m)，n?0,
m???nnn?1y(n)??an?mbm?an?a?mbm?an1?a?n?1bn?1?bn?1?1m?0m?01?ab?aa?b，n?0，最后得到
n?1?1y(n)?a?bna?bu(n)
（2）用ZT法求y(n)
X(z)?11?az?1,H(z)?11?bz?1
Y(z)?X(z)H(z)?1?1?az?1??1?bz?1?
y(n)?12?j??cY(z)zn?1dz 令n?1F(z)?Y(z)zn?1?z?zn?1?1?az?1??1?bz?1?(z?a)(z?b)
n?0,c
内有极点a,b
19
y(n)?0
y(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),b]?an?1a?b?bn?1b?a?an?1?bn?1a?b
因为系统是因果系统，n?0,y(n)?0，最后得到
y(n)?an?1?bn?1a?bu(n)
28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
HR(ejw)?1?acosw1?a?2acosw2,a?1
求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：
HR(ejw)?1?acosw1?a?2acosw1?0.5a(z?z)?12?1?0.5a(e2jwjw?e?jw))1?a?a(e1?0.5a(e?1?e?jw
jwHR(z)?1?a?a(z?z)2?1??e?jw)(1?az)(1?az)
求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。
he(n)?12???HjcR(z)zn?1dz
n?1F(z)?HR(z)zn?1??0.5az?z?0.5a?a(z?a)(z?a)?12z
z?a?1因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a?n?1时，c
。
内有极点a,
?0.5az?z?0.5a?a(z?a)(z?a)?12he(n)?Res[F(z),a]?zn?1(z?a)z?a?12an
n=0时，c内有极点a,0，
F(z)?HR(z)zn?1??0.5az?z?0.5a?a(z?a)(z?a)?12z?1
所以
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