开题报告最终版 - 图文(3)

2.4磁场在改善凝固铸件偏析方面的应用

金属熔体是由大量带电粒子组成，交变磁场通过影响熔体流动进而对温度场，压力场，凝固过程以及溶质分布等产生作用，将对控制宏观偏析方面起到作用。 东北大学张北江等人的研究[48]表明，在7075 铝合金的半连续铸造过程中，施加交变电磁场可消除宏观偏析、提高产品质量。随着感应线圈中电流强度的增加，熔体与结晶器接触线高度减小，熔体内部强迫对流加强，合金元素的反偏析现象逐渐减弱。此外提高磁场强度及适当降低磁场频率均有利于对宏观偏析的改善。但过高或过低的频率均不利于磁场对合金元素宏观偏析的改善[49]。同样班春燕等人研究发现交变磁场可使合金元素Zn2+、Mg2+、Cu+的溶质离子在铝熔体中的扩散能力增强，从而引起晶内溶质含量的增加，使宏观偏析得到有效抑制[50]。

M.MEDINA等人研究了行波磁场对Pb-10Sn合金凝固过程通道偏析和凝固缺陷的影响[51]。通道偏析产生于富溶质合金的凝固过程，形成于糊状区，其形状狭长，是一种宏观偏析。电磁场对液相流动的控制是通过固相前沿的压力场来实现的。电磁力通过影响流动模式可以调整通道的结构，适当的磁场强度可以控制偏析，但并不能使偏析消除。此外，K. Za?¨dat采用FEMLAB软件建立管状线性磁场下Al-3.5wt%Ni的定向凝固系统，研究行波磁场对Al-3.5wt%Ni的定向凝固过程固/液界面处对熔体流动的影响[52]。研究表明行波磁场可以控制熔体的流动及方向，同时使液相区形成强的环形对流，但环形对流最终使得铸件底部形成偏析。

2.5求解流动问题的原始变量法

电磁场作用下连铸凝固过程耦合传输中包含着两个强耦合关系，一个是T?C?fS的耦合，另一个是V?P的耦合，前者可以通过协同数值迭代法求解，而后者处理的困难在于动量方程中一阶导数项

?p的离散问题。首先，采用常?xi规的网格及中心差分来离散压力梯度项时，动量方程的离散形式可能无法检测出不合理的压力场；其次，压力的一阶导数以源项的形式出现在动量方程中，采用分离式方法求解各变量的离散方程时，由于压力没有独立的方程，需要设计一种专门的方法，以使在迭代求解过程中压力的值能不断地得到改进。

在流动与换热问题中，一般可分为边界层与非边界层（即有回流）两大类型。从数学描述上说，前者的控制方程至少对一个空间坐标而言是抛物线型的， 而后一情形下在各空间坐标中都是椭圆型的。在求解有回流问题的流场时，可 以用速度、压力(或密度)作为基本变量，也可取涡量、流函数作为变量。前一类方法称为原是变量法，后一种方法称为涡量流函数法。对于二维问题，涡量

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不可压缩流体流动数值解法1. 分离式求解代数方程组的方法

1.1. 原始变量法

①分步法；②压力修正法； ③抛射法；④人工压缩性法； ⑤SOLA法；⑥压力Poisson方程法 1.2. 非原始变量法 ①涡量-流函数法；②涡量-速度法 ①所有变量全场联立求解； ②部分变量全场联立求解； ③局部区域所有变量联立求解，然后逐个推进。 图2-9 不可压缩流体流动数值解法分类[53] 流函数法的基本原理是通过交叉微分从流场的两个分量动量方程中消去压力，从而导出一个涡量输运方程，这样只需解两个方程以求出流函数和涡量就可解出流场。但美国著名学者S. V. Patankar认为，流函数/涡量法具有不少突出的缺点，这除了某些涡量的边界值很难给定外，最为严重的是该方法很难推广到三维的情况。工程上的大多数实际问题都是三维问题，所以Patankar认为应该采用一种基本变量，即速度分量和压力，这样既能方便求解，又能保持基本变量的物理意义。不可压缩流体流场数值求解方法的分类大致如图2-9所示，目前，压力修正方法是求解不可压缩流场的主导方法[53]。

1972年，美国学者Patankar和Spalding提出了求解Navier-Stokes方程的SIMPLE(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) 算法[54]，SIMPLE方法属于以压力为基本变量的原始变量法。它是用速度的改进值写出的动量方程减去用速度的现时值写出的动量方程，在略去源项和对流-扩散项之后，再代入质量守恒方程的离散形式，来获得压力修正方程的。当解出压力修正值，对压力修正值采用亚松弛后，用其改进压力及速度。具体描述如下。 描述流场的动量守恒微分方程形式可表达为：

?(rf)+炎(rUf)=-?p?t炎(G?f)其中，f表示u或者v，G代表扩散系数，Sc+Spf代表线性化源项。

在SIMPLE算法中，区域划分为许多控制容积，每个控制对应着网格节点。标量和压力存储在网格节点上，而速度则存储在交错网格中，在每个控制容积上对动量方程求积分，便得到有限差分方程，如下所示：

??V?a??e?t???V?a??n?t? 2. 联立求解各变量

代数方程组的方法

(Sc+Spf) (2-1)

??V0?u?au?Ap?p?S?V?ue (2-2) ??PEc?e?nbnbe?t???V0?v?av?Ap?p?S?V?vn (2-3) ???nbnbPNc?nn?t? 12

其中，方程右边的求和项表示邻近的四个节点，上标速度分量的0表示前一时间步的值。为了表示方便，简写为如下形式：

?eue??anbunb?Ae?pP?pE??be (2-4) a?nvn??anbvnb?An?pP?pN??bn (2-5) a对于一个猜测的压力场值p*，速度u*和v*满足

****?euea??anbunb?Ae?pP?pE??be (2-6) ***?nvna??anbunb?An?pP?p*N??bn (2-7)

由式(2-4)和(2-5)分别减去(2-6)和(2-7)，得全隐式的速度修正方程如下，

''''?euea??anbunb?Ae?pP?pE? (2-8) ''''?nvna??anbvnb?An?pP?pN? (2-9)

其中，

u'?u?u*，v'?v?v*，p'?p?p* (2-10)

在SIMPLE法中，在方程(2-8)和(2-9)中略去等式右边的邻近节点的影响项

?a'nbnb'u和?anbvnb，得到速度修正方程，

*''''ue?ue?de?pP?pE?pN?， vn?vn*?dn?pP? (2-11)

其中，

de?AeA，dn?n (2-12) ?e?naa将方程(2-11)代入在主网格上离散化的连续方程，即式0?V????Pp??t??eueAe??wuwAw??nveAn??svsAs?0 (2-13) 则压力修正方程形式如下

''?aW'pW? aPpP?aEpEaN'p?N'aS?p S b (2-14)

式中，

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aE??eAede，aW??wAwdw，aN??nAndn，aS??sAsds (2-15) aP?aE?aW?aN?aS (2-16)

0b???P??P??V****??wuwAw??eueAe??svsAs??nvnAn (2-17) ?t式中u*、v*表示上一时刻值。 SIMPLE算法包含如下步骤：

1. 假定一个速度分布，记为u0、v0，以此计算动量离散方程中的系数及常数项，再假定一个压力场值p*；

2. 求解动量方程(2-4)、(2-5)，获得速度相似值u*和v*； 3. 解压力修正方程(2-14)；

4. 通过公式p=p*+lpp'（lp为欠松弛因子）计算压力； 5. 通过速度修正方程(2-11)修正速度u和v；

6. 利用改进后的速度场求解那些通过源项物性等与速度场耦合的f变量，如果f 并不影响流场，则应在速度场收敛后再求解；

7. 利用改进后的速度场重新计算动量离散方程的系数，并用改进后的压力场作为下一层次迭代计算的初值，回到第二步，重复整个过程直到得到收敛解为止。 SIMPLE算法中引入了三个方面的假定：一是，速度场u0、v0的假定与p*的假定是各自独立进行的，两者之间无任何联系；二是，导出速度修正值计算式没有计及邻点速度修正值的影响；三是，采用线性化流动动量离散方程，即在一个层次的计算中，动量离散方程中的各个系数aE、aW?及源项b均假定为定值。鉴于这三个方面的不足，学者们针对问题纷纷提出了自己的修正方案。 1981年，Patankar对自己提出的SIMPLE法给出了一个改进的算法，即SIMPLER算法[53,55]（SIMPLE Revised）。因为在SIMPLE中，为了确定动量离散方程的系数，一开始就假定了一个速度分布，同时又独立地假定了一个压力分布，两者之间未必协调，影响迭代收敛的速度，其实，假定了速度分布后，与这一速度分布相协调的压力场既可由动量方程计算而得，不必再单独假定一个压力场。另外，由SIMPLE算法得出的p′值对修正速度可以认为是相当好的，对修正压力则是过分了。虽然对p′采用了亚松弛处理，也未必能恰到好处。这样就使速度场的改进与压力场的改进不能较好的同步进行，最终影响了整个流畅的迭代收

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敛速度。SIMPLER算法即是对上述问题的修正，在SIMPLER算法中，初始的压力场是与速度场相协调的，不像SIMPLE法中是任意假定的，而且SIMPLER法算出的压力场不必亚松弛，因而迭代次数可以减少。但另一方面，每一层次计算中所花的时间则较SIMPLE法的多，原因就是SIMPLER算法中要多解一个Poisson方程，但总的来说SIMPLER算法用时少。

SIMPLER算法具体思想如下，动量离散方程(2-4)、(2-5)可以写为：

ue=??anbunb+be?anbunb+bn%an+de(pP-pE) (2-18)

vn=+dn(pP-pN) (2-19)

在已知（或假定）了速度分布后，式(2-18)、(2-19)右端的第一项即可算出，

?e、v?n，即 且具有速度的量纲，称为假拟速度，记为u?e=u?anbunb+be??n=，v?anbunb+bn%an (2-20)

上式可以简写为：

?e+de(pP-pE)，vn=v?n+dn(pP-pN) (2-21) ue=u其中，de、dn由(2-12)给出，把上式代入离散化的连续方程(2-13)，得到压力方程：

aPpP=aEpE+aWpW+aNpN+aSpS+b (2-22)

上式中，aE、aW、aN、aS由式(2-15)给出，aP由(2-16)给出，b同方程(2-17)，

?替代，方程(2-22)比SIMPLE法中的压力修正方程(2-14)更接?、v只是u*、v*由u近。

SIMPLER算法的计算步骤如下：

1. 假定一个速度u0、v0，计算动量方程的系数；

?； ?、v2. 据已知的速度计算假拟速度u3. 计算压力方程(2-21)的系数，并求解它以得到压力场； 4. 把求解出的压力场作为p*，求解动量方程，得u*、v*；

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