（3）y??2y?x?5x?2y?1； （4）y??；
2x?y?42x?4y?1x2?y．
（5）y(xy?1)dx?x(1?xy?x2y2)dy?0； （6）y??x?解：(1) 令u?2x?y?1，则
duu?u2?2，解得arctan?2x?C dx2即arctan2x?y?1?2x?C 2(2 ) 原方程可化为xdy?ydx?y(lnxy)dx，即d(xy)?y(lnxy)dx 令u?xy，则du?得：xy?eCx
(3) 令?ulnudx，分离变量后解得ln(lnu)?lnx?lnC，代入u?xy化简x?2y?x?5?0?x?1?x?X?1得?，令?代入原方程得
2x?y?4?0y??2y?Y?2???dY2Y?XY??u，则 ，令dX2X?YXdu2u?1u?X?，解得：ln(u?1)?3ln(u?1)?2lnX?lnC，或特解u??1，再
dX2?uY?u得 代入Xln(Y?X)?3ln(X?Y)?lnC，
所以：y?x?3?C(x?y?1)，特解x?y?1?0 (4) 令v?x?2y，则
3dvdydy1dv?1?2，或?(?1)，于是原方程可化为 dxdxdx2dx1dvv?1(?1)? 2dx2v?1解得：4v?3ln|4v?1|?8x?C，特解4v?1?0，再代入v?x?2y得所求解为：
8y?4x?3ln8y?4x?1?C，特解8y?4x?1?0
注：(3)、(4)题总结：对于
ydyax?by?c?型方程，若c?c1?0时是齐次的，令u?
xdxa1x?b1y?c1即可求解，否则不是齐次的，分下列两种情形求解
(ⅰ) 当
?ax?by?c?0?x?h?x?X?ha1b1?时，由?解得?，再令?即可将原方程ab?y?Y?k?y?k?a1x?b1y?c1?06
化为齐次方程
dYaX?bY来求解． ?dXa1X?bY1(ⅱ) 当
a1b1abdyax?by?c?时，令1?1??，原方程可化为：， ?ababdx?(ax?by)?c1作代换v?ax?by，将原方程化为：?能够求解．
1?dv?v?c，这是可分离变量的方程，?a??b?dx??v?c1y(5) 原方程可化为(xy?1)d(xy)?x2y2?xdy?0，令u?x，则1(?)udu??u?dy2uy，
分离变量后解得u?lnu??lny?lnC，代入u?xy化简得：
xy2exy?C
(6) 令u?x2?y，则u2?x2?y，
dydu?2u?2x，代入原方程得 dxdx2udu?u?x dx4. 物体的冷却速率正比于物体温度与环境温度之差，用开水泡速溶咖啡，3min后咖啡的温度是85℃，若房间温度为20℃．几分钟后咖啡温度为60℃？
解：设咖啡温度为T=T(t)，由题意得：
dT ?k(20?T),T(0)?100,T(3)?85.
dt其中k为常数．方程的通解为：ln(T?20)??kt?C 由T(0)=100,得C=ln80，又由T(3)=85，得k=0.07所以 t?[ln80?ln(T?20)]/0.07 代入T=60℃，得t约为10min．
5. 在美国把核废料抛到91.5m深的海底是否恰当的争论中，工程师们发现，当废物桶落到海底的速度超过12.2m/s时，会与海底相撞而破裂，而废物桶速度v与海水深x满足微分方程：
?Wdv?W?B?v ?gdx
?v(0)?0?美国这样抛核废物到海底是否妥当（其中桶重W为239.46kg，g为9.8m/s，海水对桶的
浮力B为213.5kg）?
dv解：代入数据，方程化为 v?1.0624，满足初始条件的解为v?2.1248x
dx代入x=91.5m，得v=13.9434m/s>12.2m/s．所以美国这样的作法是不妥的．
四 综合与提高
1. (1996，江苏省高等数学竞赛)设曲线C经过点(0,1)，且位于x轴上方．就数值而言主，
7
C上任何两点之间的弧长都等于该弧以及它在x轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求C的方程．
解：设曲线方程为y?y(x)，由题意得
?两边求导得
x01?y?2dx??x0y(x)dx,y(0)?1
1?y?2?y?y???y2?1?于是
dyy?12??dx
ln(y?y2?1)??x?lnC
y?y2?1?Ce?x
由y(0)?1，解得C?1．故y?y2?1?e?x或1y?y2?1?e?x，所以
y?y2?1?e?x，y?y2?1?ex
曲线方程为
y?1x?x(e?e)． 22. (2004，数学一)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k?6.0?10）．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
注kg表示千克，km/h表示千米/小时.
分析：本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可．
解：由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0?700km/h. 从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).
根据牛顿第二定律，得
6dv??kv. dtdvdvdxdv???v， 又
dtdxdtdx m由以上两式得 dx??积分得 x(t)??mdv， kmmv?C. 由于v(0)?v0,x(0)?0，故得C?v0，从而 kk8
x(t)?m(v0?v(t)). k当v(t)?0时， x(t)?mv09000?700??1.05(km). 6k6.0?10所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.
?tdv??kv,分离变量求得通解v?Cem，代入初始条件v另解：也可由mdtkt?0?v0解
得C?v0，故 v(t)?v0e x?k?tm.飞机滑行的最长距离为
k??0???0mv?tv(t)dt??0emk?mv0?1.05(km). kd2xdx本题还可用二阶齐次线性微分方程m2??k求解．
dtdt
12.3一阶线性微分方程
一 主要内容
名称 微分方程 形如内容 dy?P(x)y?Q(x)的微分方程称为一阶线性的微分方程．若Q(x)?0，称为dx齐次的；否则称为非齐次的. ?P(x)dxP(x)dx?P(x)dx公式法：y?e? Q(x)e?dx?Ce??常数变易法：先求对应齐次方程解法 ?P(x)dxdy.，然后 变?P(x)y?0的通解y?Ce?dx?P(x)dx易常数C．令非齐次方程通解为y?u(x)e?代入原方程，得待定系数?P(x)dx?Q(x)． u(x)，满足：u?(x)e?贝努里方程 形如y??P(x)y?Q(x)yn,(n?0,1)的微分方程称为贝努里微分方程．令z?y1?n，dz化为线性微分方程：?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x) dx 二 疑难解析
怎样理解常数变易法？
答 常数变易法是基于这样一种想法而产生的.当求得线性齐次微分方程
dy?P(x)y?0dx 9
?P(x)dxdy.自然会想到如何求非线性微分方程的通解y?Ce??P(x)y?Q(x)的通解形式．由于
dx齐次微分方程和非齐次微分方程左边完全一致，仅在右边的Q(x)是否等于零的有所区别，因此推测通解的形式相类似，从而设想用待定函数u(x)代替齐次通解中的常数C．这种以未知函数u(x)代换常数C的方法，就是常数变易法．它在二阶常系数微分方程的求解中也有应用．
求解一阶线性的微分方程时，可用常数变易法，也可用公式法．前者行之有效，后者比较简捷．
三 典型例题
1. 求微分方程的通解
（1）y??3xy?3x; （2）y??2y?x2; （3）y??y?cosx． 解 该题都是一阶线性微分方程，可用公式法求解．
3（1）P(x)??3x,Q(x)?3x,P(x)dx??x2，代入公式，得：
2?y?e32x2[?3xe3?x22dx?C]?e32x2[??e3?x2232x322d(?x)?C]?Ce?1.
2（2）P(x)??2,Q(x)?x2,P(x)dx??2x，代入公式，得：
y?e2x[x2e?2xdx?C]?e2x[??e2x[??Ce2x??12?2xxe?xe?2xdx?C]2?12?2x1?2x1?2xxe?xe?e?C]22411?(x2?x?).22
（3）P(x)??1,Q(x)?cosx,P(x)dx??x，代入公式，得：
11 y?ex[cosxe?xdx?C]?ex[e?x(sixn?cosx)?C?Cex?(sixn?cosx)
221（4）P(x)??x,Q(x)?x,P(x)dx??x2，代入公式，得：
2???y?12x2e[?1?x2xe2dx?C]?121x?x22e[?e2?C]?12x2Ce?1
（5）P(x)??1,Q(x)?sinx,P(x)dx??x，代入公式，得：
11 y?ex[sinxe?xdx?C]?ex[?e?x(sixn?cosx)?C?Cex?(sixn?cosx)
221（6）P(x)??,Q(x)?(x?1)3,P(x)dx??ln|x?1|，代入公式，得：
x?11 y?(x?1)[(x?1)2dx?C]?C(x?1)?(x?1)4
32. 求微分方程满足初始条件的特解
（1）xy??y?ex,y(a)?b; （2）y??ytanx?secx,y(0)?0. 解 该题都是一阶线性微分方程，可用公式法求通解后利用初始条件确定常数．
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