（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 平面向量的坐标运算——知识点归纳
??1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底由
?????平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，
因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 ??? (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2平面向量的坐标运算：
????(1) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2? ????(2) 若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?
(3) 若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)
??????(4) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0 ????(5) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2
??若a?b，则x1?x2?y1?y2?0
3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 ?
运算类型 向 量 的 加 法 向 几何方法 坐标方法 运算性质 1平行四边形法则 ??????a?b?(x1?x2,y1?y2) a?b?b?a ??????(a?b)?c?a?(b?c) 2三角形法则 ????????????AB?BC?AC 三角形法则 ??????a?b?(x1?x2,y1?y2) a?b?a?(?b) 26
量 的 减 法 向 量 的 乘 法 向 量 的 数 量 积 ????????AB??BA ????????????OB?OA?AB ?a是一个向量, 满足: ??a?(?x,?y) ?(?a)?(??)a ???(???)a??a??a ?????(a?b)??a??b ?????>0时,?a与a同向; ???<0时,?a与a异向; ???=0时, ?a=0 ????a∥b?a??b ??a?b是一个数 ??a?b?x1x2?y1y2 ????a?b?b?a ??????(?a)?b?a?(?b)??(a?b) ????a?0或b?0时, ??a?b=0 ????a?0且b?0时, ??????a?b?|a||b|cos?a,b? ???????(a?b)?c?a?c?b?c ???a2?|a|2,|a|?x2?y2 ????|a?b|?|a||b| 平面向量的数量积——知识点归纳
1两个向量的数量积：
??????b=︱a︱·已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·︱b︱cos? ????叫做a与b的数量积（或内积） 规定0?a?0 ?????a?b2向量的投影：︱b︱cos?=?∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影
|a|?????b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 3数量积的几何意义： a·
4向量的模与平方的关系：a?a?a?|a|
???2?25乘法公式成立：
???????????a?b??a?2a?b?b22?????2?2?2?2a?b?a?b?a?b?a?b；
2?2???2?a?2a?b?b
6平面向量数量积的运算律：
????①交换律成立：a?b?b?a
27
??????②对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b???R?
???????????????③分配律成立：a?b?c?a?c?b?c?c?a?b
?????????特别注意：（1）结合律不成立：a?b?c?a?b?c；
??????????（2）消去律不成立a?b?a?c不能得到b?c?
??????（3）a?b=0不能得到a=0或b=0
7两个向量的数量积的坐标运算：
????已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·b=x1x2?y1y2 ????????????008向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=? （0???180）叫做向量
??a与b的夹角
???x1x2?y1y2?a?bcos?=cos?a,b????= 2222a?bx1?y1?x2?y2?????00
当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=180，同时0与其它任何非
零向量之间不谈夹角这一问题 ??????0
9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件： ????a⊥b?a2b＝O?x1x2?y1y2?0平面向量数量积的性质
线段的定比分点与平移——知识点归纳
1线段的定比分点定义：设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实
????????????????????PP2，?叫做点P分有向线段P1P2所成的比当点P在线段P1P2上时，??0；当点P在数?，使PP1??????????线段P1P2或P1P2的延长线上时，?<0
?????2定比分点的向量表达式：点P分有向线段P1P2所成的比是?，
????1?????????OPOP2（O为平面内任意点） 则OP?1?1??1????x?3定比分点的坐标形式: ??y??x1??x21??,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y) y1??y21??28
x1?x2?x???????2 4中点坐标公式: 当?=1时，分点P为线段P1P2的中点，即有?y?y2?y?12?xA?xB?xC?x??35?ABC的重心坐标公式：?
yA?yB?yC?y?3?6图形平移的定义:设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形
F’，我们把这一过程叫做图形的平移
??????????x??x?h,?7平移公式: 设点P(x,y)按向量a?(h,k)平移后得到点P?(x?,y?)，则OP?＝OP+a或?，曲
?y?y?k.?线y?f(x)按向量a?(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为：y?k?f(x?h)
这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系
?解三角形及应用举例——知识点归纳
1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径
即
abc???2R（其中R表示三角形的外接圆半径） sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a2?c2?b2第一形式，b=a?c?2accosB，第二形式，cosB=
2ac222利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3三角形的面积：△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示
则
11a?ha??；②S?bcsinA??； 22abc2③S?2RsinAsinBsinC；④S?；
4R①S?⑤S?p(p?a)(p?b)(p?c)；⑥S?pr（其中p?a?b?c） 2a?b?c斜2S?4三角形内切圆的半径：r?，特别地，r直?
2a?b?c5三角学中的射影定理：在△ABC 中，b?a?cosC?c?cosA，?
29
6两内角与其正弦值：在△ABC 中，A?B?sinA?sinB，?
7三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中sin(A+B)=sinCcos(A+B) ?-cosCtan(A+B) ?-tanC
sinA?BCA?BCA?BC?cos cos?sin tan?cot 222222解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图
tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC
来帮助理解” 第六章不等式
不等式的概念与性质——知识点归纳
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0
2．不等式的性质：
（1）a?b?b?a ， a?b?b?a （反对称性）
（2）a?b,b?c?a?c ，a?b,b?c?a?c （传递性） （3）a?b?a?c?b?c，故a?b?c?a?c?b （移项法则） 推论：a?b,c?d?a?c?b?d （同向不等式相加） （4）a?b,c?0?ac?bc，a?b,c?0?ac?bc 推论1：a?b?0,c?d?0?ac?bd 推论2：a?b?0?a?b 推论3：a?b?0?na?nb
算术平均数与几何平均数——知识点归纳
nn1．常用的基本不等式和重要的不等式
（1）a?R,a?0,a?0 当且仅当a?0,取“?” （2）a,b?R,则a?b?2ab
?（3）a,b?R，则a?b?2ab
222a2?b2a?b2?() （4）
222最值定理:设x,y.0,由x?y?2xy
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