曲一线科学备考
当t=-
时, 两平行直线BS:x+y-2=0与l2:x+y-=0间的距离d2=.
∵S△TSB=, 且|BS|=. 故△TSB在BS边上的高d=.
∵d2 即线段MN的长度最小时, 椭圆C上仅存在两个不同的点T, 使得△TSB的面积等于. 37.解法一:(Ⅰ)设点P(x, y), 则Q(-1, y), 由y)2(-2, y), 化简得C:y2=4x. 2=2 得:(x+1, 0)2(2, -y)=(x-1, (Ⅱ)(1)设直线AB的方程为:x=my+1(m≠0). 设A(x1, y1), B(x2, y2), 又M消去x得: y2-4my-4=0, . 联立方程组 Δ=(-4m)2+12>0, 由=λ 1 =λ 2 得: y1+=-λ1y1, y2+=-λ2y2, 整理得: λ1=-1-, λ2=-1-, ∴λ1+λ2=-2-=-2-2=-2-2=0. 解法二:(Ⅰ)由∴| |=| |. 2=2得:2(+)=0, ∴(-)2(+)=0, ∴-=0, 所以点P的轨迹C是抛物线, 由题意, 轨迹C的方程为:y2=4x. 第21页 / 共 50页 曲一线科学备考 (Ⅱ)(1)由已知=λ 1=λ 2 , 得λ12λ2<0, 则:=-2, ① 过点A、B分别作准线l的垂线, 垂足分别为A1、B1, 则有:==. ② 由①②得:-2(Ⅱ)(2)由解法一, | |2| |=( =, 即λ1+λ2=0. )2|y1-yM||y2-yM|=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)+=42+m2+ ≥42+2 =16. |=(1+m2)-4+34m+=(1+m2) 当且仅当m2=, 即m=±1时等号成立, 所以||2||最小值为16. 38.(1) 由已知得f '(x) =a(sin x+xcos x) , 对于任意x∈, 有sin x+xcos x>0. 当a=0时, f(x) =-, 不合题意; 当a<0, x∈时, f '(x) <0, 从而f(x) 在内单调递减, 又f(x) 在上的图象是连续不断的, 故f(x) 在上的最大值为f(0) =-, 不合题意; 当a>0, x∈时, f '(x) >0, 从而f(x) 在 上的最大值为f 内单调递增, 又f(x) 在 , 上的图象是连续 不断的, 故f(x) 在解得a=1. , 即a-= 综上所述, 得f(x) =xsin x-. (2) f(x) 在(0, π) 内有且只有两个零点. 第22页 / 共 50页 曲一线科学备考 证明如下: 由(1) 知, f(x) =xsin x-, 从而有f(0) =-<0, f=>0, 又f(x) 在上的图象是连续不断的, 所以f(x) 在内至少存在一个零点. 又由(1) 知f(x) 在上单调递增, 故f(x) 在内有且仅有一个零点. 当x∈时, 令g(x) =f '(x) =sin x+xcos x. 由g=1>0, g(π) =-π<0, 且g(x) 在上的图象是连续不断的, 故存在m∈, 使 得g(m) =0. 由g'(x) =2cos x-xsin x, 知x∈时, 有g'(x) <0, 从而g(x) 在内单调递减. 当x∈时, g(x) >g(m) =0, 即f '(x) >0, 从而f(x) 在内单调递增, 故当x∈时, f(x) ≥f=>0, 故f(x) 在上无零点; 当x∈(m, π) 时, 有g(x) 综上所述, f(x) 在(0, π) 内有且只有两个零点. 39.解法一: (1) 依题意, |OB|=8∠BOy=30°. 设B(x, y) , 则x=|OB|sin 30°=4因为点B(4 , y=|OB|cos 30°=12. ) 2=2p312, 解得p=2. 故抛物线E的方程为 , , 12) 在x2=2py上, 所以(4 第23页 / 共 50页 曲一线科学备考 x2=4y. (2) 由(1) 知y=x2, y'=x. 设P(x0, y0) , 则x0≠0, 且l的方程为 y-y0=x0(x-x0) , 即y=x0x-. 由 得 所以Q. 设M(0, y1) , 令2=0对满足y0=(x0≠0) 的x0, y0恒成立. 由于 =(x0, y0-y1) , =, 由2=0, 得 -y0-y0y1+y1+=0, 即(+y1-2) +(1-y1) y0=0. (*) 由于(*) 式对满足y0=解得y1=1. (x0≠0) 的y0恒成立, 所以 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0, 1) . 解法二: (1) 同解法一. (2) 由(1) 知y=x2, y'=x. 设P(x0, y0) , 则x0≠0, 且l的方程为y-y0=x0(x-x0) , 即y=x0x-. 第24页 / 共 50页 曲一线科学备考 由 得 所以Q. 取x0=2, 此时P(2, 1) , Q(0, -1) , 以PQ为直径的圆为(x-1) 2+y2=2, 交y轴于点M1(0, 1) 或M2(0, -1) ; 取x0=1, 此时P轴于M3(0, 1) 或M4 . , Q, 以PQ为直径的圆为 += , 交y 故若满足条件的点M存在, 只能是M(0, 1) . 以下证明点M(0, 1) 就是所要求的点. 因为 =(x0, y0-1) , =, 2= -2y0+2=2y0-2-2y0+2=0. 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M. 40. (1) 以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积S1=22a22b=2ab, 以短轴的两个端点和两个焦点为顶点的四边形的面积S2=22c22b=2cb. (2分) 因为===2, 即a=2c, 所以b2=3c2, 可设椭圆方程为+=1, 将点代入可得 c2=1, 所以所求椭圆方程为+=1. (5分) (2) 由∠APB为锐角得2所以2 >0, 设A(x1, y1) , B(x2, y2) , 则 =(x1-m, y1) , =(x2-m, y2) , =(x1-m) (x2-m) +y1y2=x1x2-m(x1+x2) +m2+y1y2>0, 联立椭圆方程+=1与直线方程x+y+1=0, 消去y并整理得7x2+8x-8=0, (7分) 第25页 / 共 50页 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库我的精品题库试题 - 20140222 - 210731(5)在线全文阅读。
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