、例4．(2007·四川 )已知cos???113,cos(???)?,且0
2714(Ⅰ)求tan2?的值.（Ⅱ）求?.
【解题思路】由同角关系求出tan?再求tan2?；又?????????结合角?的范围定角。
21?1??2[解析]（Ⅰ）由cos??,0???，得sin??1?cos??1????43 727?7?∴tan??sin?4372?43???43，于是tan2??2tan??cos?711?tan2?1?43??83 ??247（Ⅱ）由0??????2，得0??????2
13又∵cos??????，∴sin??????1?cos14213?33 ??????1?????14?14?2由?????????得：cos??cos???????????
?11343331?cos?cos??????sin?sin??????????,所以??
37147142【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
例题5：（08湖北卷16） 已知函数f(t)?1?t17?,g(x)?cosx?f(sinx)?sinx?f(cosx),x?(?,). 1?t12（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(?x??)?B（A?0，??0，??[0,2?)）的形式； （Ⅱ）求函数g(x)的值域.
本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）g(x)?cosx?1?sinx1?cosx ?sinx?1?sinx1?cosx(1?sinx)2(1?cosx)2 ?cosx??sinx?22cosxsinx1?sinx1?cosx?cosx??sinx?.
cosxsinx
2010级高三数学 第11页
?17???x???,,?cosx??cosx,sinx??sinx,?12??1?sinx1?cosx?g(x)?cosx??sinx?
?cosx?sinx
?sinx?cosx?2 ＝2sin?x???????2. 4?（Ⅱ）由?＜x?17?5??5?，. 得＜x??12443?5?3???3?5???sint在?,?上为减函数，在?,?上为增函数，
?42??23?又sin5?5?3??5??17??＜sin,?sin?sin(x?)＜sin（当x???,）， ?342442??即?1?sin(x?)＜??42? ，??2?2?2sin(x?)?2＜?3，24故g(x)的值域为??2?2,?3.
??3xx2sinx
例6：:证明tan －tan ＝
22cosx＋cos2x
3xx3xx
【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系： ＋ ＝2x， － ＝x
2222sinx＝sin cos －cos sin ?2 －2 ＝x ∴2222
3xx
又cosx＋cos2x＝2cos cos
22①÷②即得：
3xxsin sin 222sinx3xx ＝ － ＝tan －tan . 3xx22cosx＋cos2x
cos cos 22
【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似. 例题7：.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+(1) (2)
求函数f(x)的最大值和最小正周期.
设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=，f()??
3x
x
3x
x
3x
x
① ②
?2)+sinx. 313c21，且C为锐角，求sinA. 4 2010级高三数学 第12页
解: （1）f(x)=cos(2x+
???1?cos2x132)+sinx.=cos2xcos?sin2xsin???sin2x 3332221?3,最小正周期?. 2
所以函数f(x)的最大值为
（2）f()=
c21?133, 因为C为锐角, 所以C?, ?sinC=－, 所以sinC?43222又因为在?ABC 中, cosB=, 所以 sinB?1323, 所以 3sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?211322?3. 2????32326【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.
例题8：(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos2?2?cosxsin??sinx(0????)在x??处取最小值.
（1）求?.的值;
（2）在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?2,f(A)?3,求角C.. 2解: （1）f(x)?2sinx?1?cos??cosxsin??sinx 2?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)
因为函数f(x)在x??处取最小值，所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为
0????,所以???2cosx .所以f(x)?sin(x?)?2?（2）因为f(A)??33,所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以A?.又因为
622abbsinA12??2??,也就是sinB?, sinAsinBa22a?1,b?2,所以由正弦定理,得
因为b?a,所以B??4或B?3?. 4 2010级高三数学 第13页
当B??4时,C????6??4?7?3??3???. ;当B?时,C????1246412【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
b、例题2：2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、已知a?c?2b，c，
且sinAcosC?3cosAsinC, 求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右
2222sinC,过侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sinAcosC?3cosA多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理
a2?b2?c2b2?c2?a2?3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知有:a?2ab2bca2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）.
解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0。 所以b?2ccosA?2?????????????①
又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC
22222sinC sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosA由正弦定理得sinB?sinC，故b?4ccosA?????????② 由①，②解得b?4。 aa
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