必修四三角函数例题(2)

求cos（?+β）.

?ππππ?π解：∵＜?＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.

2242422故由cos（?－

?45?1）=－，得sin（α－）=.

92925????2??，得cos（－β）=.∴cos=cos［（?－）－（－β）］

332222由sin（

?2－β）=

=cos(???2)cos(?2??)?sin(???2)sin(?15245??)=?? ??293392?75?752392???∴cos（?+β）=2cos－1=2??-1=－. ???27?729227??例3. 若sinA=

510,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 510510,sinB=， 510解 ∵A、B均为钝角且sinA=∴cosA=-1?sinA=-225=-

25， 5cosB=-1?sinB=-2310=-

310， 10∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

?=??????25??×??310?-5×10=2 ① ??5?102??10?5??＜A＜?, ＜B＜?, 22∴?＜A+B＜2? ②

7?由①②知，A+B=.

4又∵

变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2解 在△ABC中，A+B+C=180°, 由4sin2得4·7A?C-cos2B=, 227A?C-- cos2B=,求角B的度数. 221?cos(A?C)7-2cos2B+1=, 2212所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是cosB=,B=60°.

1例4．化简sin2?·sin2?+cos2?cos2?-cos2?·cos2?.

2解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）

2010级高三数学 第6页

原式=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-

1·(2cos2?-1)·(2cos2?-1) 21(4cos2?·cos2?-2cos2?-2cos2?+1) 21=sin2?·sin2?-cos2?·cos2?+cos2?+cos2?-

21=sin2?·sin2?+cos2?·sin2?+cos2?-

2111=sin2?+cos2?-=1-=.

222方法二 （从“名”入手，异名化同名）

1原式=sin2?·sin2?+(1-sin2?)·cos2?-cos2?·cos2?

21=cos2?-sin2? (cos2?-sin2?)-cos2?·cos2?

21=cos2?-sin2?·cos2?-cos2?·cos2?

2=cos2?-cos2?·?sin2??cos2??

???12?==

1?cos2?-cos2?21?2?2·sin??(1?2sin?)?? 2??1?cos2?11-cos2?=. 222方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

1?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?1原式=·+·-cos2?·cos2?

222221111=(1+cos2?·cos2?-cos2?-cos2?)+(1+cos2?·cos2?+cos2?+cos2?)-·cos2?·cos2?=. 4422方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

1原式=(sin?·sin?-cos?·cos?)2+2sin?·sin?·cos?·cos?-cos2?·cos2?

211=cos2(?+?)+sin2?·sin2?-cos2?·cos2?

221=cos2(?+?)-·cos(2?+2?)

211=cos2(?+?)- ·［2cos2(?+?)-1］=.

22???变式训练4：化简：（1）2sin???x?+6cos??x?;

?4??4???(2）

2cos2??1.

???2???2tan????sin?????4??4??13??????x???cos??x?? ?4?2?4????解 （1）原式=22?sin???2? 2010级高三数学 第7页

????=22?sinsin??x??coscos??x??

66?4??4??????????=22cos????x?=22cos(x-?64????12). =

cos2?cos2?(1?sin2?)1?sin2?（2）原式=

cos2?1?tan???????1?cos??2???1?tan???2??=1.

二倍角的正弦、余弦、正切 （2009年11月21日）

例1. 求值：解：原式＝ ＝

sin40?(1?2cos40?)2cos240??cos40??1

sin40??sin80?

cos40??cos80?sin(60??20?)?sin(60??20?)＝

cos(60??20?)?cos(60??20?)?12?sin3

变式训练1：(cosA．－解：D

?12)(cos

??＋sin)＝ （ ） 12121133 B．－ C． D．

2222例2． 已知α为锐角，且tan??，求解：∵α为锐角 ∴＝

sin2?cos??sin?sin2?cos2?2＝sin?(2cos??1)

12sin2?cos??sin?的值.

sin2?cos2?2sin?cos?cos2?15＝1?tan2?＝ cos?4变式训练2：化简：

2tan(2cos2??1?4??)?sin(2?4??)

解：原式＝

2sin(cos(cos2???4＝1

?4??)??)??)?cos2(4例3．已知f(x)??3sin2x?sinxcosx； (1) 求f(25??13)的值； (2) 设??(0,?),f()??，求sinα的值． 6242 2010级高三数学 第8页

解：（1）∵sin∴f(251?62cos25?3 ?6225?25?25?25?)??3cos2?sincos?0 6666（2）f(x)?∴f()?a2331cos2x??sin2x 22231313 cos??sin????222421?35 816sin22－4sinα－11＝0 解得sin??∵2?(0,?)?sin??0 故sin???变式训练3：已知sin(解：cos(＝2sin2(

?6??)＝

1?35 812?，求cos(?2?)的值．

332??＋2α)＝2cos2(＋α)－1 33?7－α) －1＝－ 69?)，求sinα、tanα的值． 2例4．已知sin2 2α＋sin2α cosα－cos2α＝1，α?(0，解：由已知得

sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0 即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0 cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0 ∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1 ∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝

12?233

变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列(??[0,2?])，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．

解：∵α、β、r成公比为2的等比数列． ∴β＝2α，r＝4α

∵sinα、sinβ、sinr成等比数列 ∴

sin?sinrsin2?sin4?????cos??2cos22?1 sin?sin?sin?sin2?12即2cos22?cos??1?0，解得cosα＝1或cos???

当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去 当cos???时，∵2∈[0,2π] ∴2?∴??122?2?或2? 332?4?8?4?8?16?,??,r?或??,??,r? 333333简单的三角恒等变换 （2009年11月22日）

例1： 不查

表求值xxsin?2cos?0222cos10??sin20?= ． cos20? 2010级高三数学 第9页

例2：已知

（1）求tanx的值； （2）求

cos2x2cos(?x)?sinx4?的值．

解析：（1）由sinxxx?2cos?0, ?tan?2， 222x2?2?2??4． ?tanx?31?222x1?tan22tan（2） 原式＝

cos2x?sin2x2(22cosx?sinx)sinx22?(cosx?sinx)(cosx?sinx)

(cosx?sinx)sinx?cosx?sinx31?cotx?1?(?)?1?．

sinx44【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.

例3. (福建省师大附中2008年高三上期期末考试)

设向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，且0??????,若a?b?求tan?的值。

【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:

?a?b?cos?cos??sin?sin???cos(???)???????44，tan??，534545又?0??????????????03?sin(?-?)=-53?tan(?-?)=-44又?tan?=334?tan(???)?tan?743?tan??tan[(???)??]???1?tan(???)tan?1?(?3)?424

43?【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换

2010级高三数学 第10页

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