2011届高三一轮复习数学精品资料：第四章 三角函数(8)

1方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin2x

的图象；

?再将y=sin2x的图象向左平移6个单位；

得到y=sin2

(x??6=sin

)(2x??3的图象；再将y=sin

(2x?)(2x??)3的图象上每一点的横坐标保持不变，

?纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin

)3的图象.

例2 如图为y=Asin(?x+?)的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，

5???)363=?， 则A=-，T=2

(∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）. ∵点N

(??6,0)??，∴-632+?=0，∴?=3，

(2x??所求解析式为y=-3sin

)3.

①

方法二 由图象知A=3，

?5?(,0)(,0)以M3为第一个零点，P6为第二个零点.

???·???0????2?3??2??5???·?????????3. 6列方程组? 解之得?∴所求解析式为y=3sin

(2x?2?)3.

②

AA?例3（12分）已知函数f(x)=2- 2cos(2?x+2?) (A＞0, ?＞0,0＜?＜2),且y=f(x)的最大值

为2，其图象相邻

两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求?;

(2)计算f(1)+f(2)+?+f(2 008).

AA解 （1）∵y=2- 2cos(2?x+2?),且y=f(x)的最大值为2，A＞0,

AA∴2+2=2,A=2.

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,?＞0, 12??()∴22?=2, ?=4.

2分

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??22(x?2?)(x?2?)∴f(x)= 2-2cos2=1-cos2.

∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos24分

?2?2?(??2?)=-1.

?=2k?+?,k∈Z.∴?=k?+4,k∈Z.

??又∵0＜?＜2，∴?=4.

6分

????(x?)x?2224(2)∵=,∴f(x)=1-cos=1+sin.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 9分

又∵y=f(x)的周期为4，2 008=43502,

∴f（1）+f（2）+?+f（2 008）=43502=2 008. 12分

1?(x?)4 1.已知函数y=3sin2（1）用五点法作出函数的图象；

（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；

（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：

x

1?x?24

?2 3?2 5?2 7?2 9?2

0

?2

?

3?2? 2

1?(x?)0 3sin24

3 0 -3 0

描点、连线,如图所示：

（2）方法一 “先平移，后伸缩”.

???(x?)(x?)4的图象；4的先把y=sinx的图象上所有点向右平移4个单位，得到y=sin再把y=sin

图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

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1?1?(x?)(x?)4的图象，4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍y=sin2最后将y=sin2（横坐1?(x?)4的图象. 标不变），就得到y=3sin2方法二 “先伸缩，后平移”

1先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin2x的图1?象；再把y=sin2x图象上所有的点向右平移2个单位，

?x?x?1(?)(?)得到y=sin2(x-2)=sin24的图象，最后将y=sin24的图象上所有点的纵坐标伸长到原

1?(x?)4的图象. 来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin22?2?1?（3）周期T=?=2=4?，振幅A=3，初相是-4. 1??x?4=2+k?(k∈Z), (4)令23得x=2k?+2?(k∈Z),此为对称轴方程. 1??令2x-4=k?(k∈Z)得x=2+2k?(k∈Z).

对称中心为

(2k???2,0) (k∈Z).

?2.函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜ 2,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为

(( )

?x??A. y=-4sin8y=-4sin8(()4

B.

?x??)4

?C. y=4sin8x??4

)

D. y=4sin8(?x??)4

答案 B

3.已知函数f(x)=Asin?x+Bcos?x(其中A、B、?是实常数，且?＞0)的最小正周期为2,并当

1x=3时,f(x)取得最大值2.

（1）函数f(x)的表达式；

?2123??4,4??上是否存在f(x)的对称轴? 如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说（2）在闭区间?明理由.

22解 （1）f(x)=Asin?x+Bcos?x=A?Bsin(?x??)

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2?由T=?=2知?=?，

又因为f(x)最大值为2，所以f（x）=2sin(?x+?).

1?(??)由x=3时f(x)max=2，得sin3=1，

??(?x?)6. ∴?=6.∴f(x)=2sin

??（2）令?x+6=k?+2(k∈Z)得对称轴方程为

112321x=k+3，由对称轴满足4≤k+3≤4（k∈Z）

5965即12≤k≤12且k∈Z，∴k=5.

?2123??4,4??上f(x）只有一条对称轴. 故在?11616x=5+3=3，即对称轴方程为x=3.

一、选择题 1.下列函（ ）

数

中

，

图

象

的

一

部

分

如

下

图

所

示

的

是

A.y=sinC.y=cos

(x??6 B. y=sin

)(2x?(2x??)6

(4x??3 D.y=cos

)?)6

答案 D

2.（20082全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos（ ）

5??A.向左平移12个单位长度? 5??B.向右平移12个单位长度? 5??C.向左平移6个单位长度?

(2x??)3的图象，只需将函数y=sin2x的图象

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5??D.向右平移6个单位长度?

答案?A??

3.（20082湖南理，6）函数f(x)=sin2x+（ ）

????,?3sinxcosx在区间??42?上的最大值是

1?3

A.1 B.2 3C.2 D.1+3

答案 C

4.（20082四川理，10）设f（x）=sin（?x+?），其中?＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是 （ ）

A. f(0)=1 B. f(0)=0 C.f?(0)=1 D.f?(0)=0 答案 D 5.

函

数

y=3sin

1?(x?)23的周期、振幅依次是

（ ）

A.4?，3 B.4?，-3 C. ?，3 D. ?，-3

答案 A

6.若函数f(x)=2sin(?x??)对任意x都有f6(??x)=f6(??x)，则

()f6等于

?（ ）

A.2或0 B.-2或2 C.0 D. -2或0 答案 B 二.填空题

7.（20082辽宁理，16）已知f(x)=sin小值，无最大值，则?= .

14答案 3

(?x?

?()()(,)3 (?＞0),f6=f3,且f(x)在区间63上有最

)????8.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 .

1答案 2?-2 三、解答题

???53?0,2??上的最大值是1？若存在，9.是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+8a-2在闭区间?求出对应的a值；若不存在，说明理由.

53解 y=1-cos2x+acosx+8a-2

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