2011中考数学压轴题训练

中考数学压轴题汇编

1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

y与x的关系式 输入x 开始 （Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x－h)＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

【解】（1）当P=

122

输出y 结束 12时，这种变

时，y=x＋

12?100?x?,即y=

1212x?50。

∴y随着x的增大而增大，即P=

1时，满足条件（Ⅱ）……3分

又当x=20时，y=?100?50=100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～

2100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=

12时，这种变换满足要求；……6分

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=a?x?20??k,……8分

∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②

2

1?a?12?由①②解得?， ∴y??x?20??60。………14分 160160?k?60?2、（常州）已知A(?1，m)与B(2，m?33)是反比例函数y?kxy 图象上的两个点．

1 1 ?1 B （1）求k的值；

（2）若点C(?1，0)，则在反比例函数y?kx图象上是否存在点

C O ?1 x D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，

求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由(?1)?m?2?(m?33)，得m??23，因此k?23． ····· 2分

（2）如图1，作BE?x轴，E为垂足，则CE?3，BE?∠BCE?30．

?3，BC?23，因此

?由于点C与点A的横坐标相同，因此CA?x轴，从而∠ACB?120．

当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B， 故不符题意． ····························· 3分 当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D， 过点A，D分别作x轴，y轴的平行线，交于点F．

?由于∠DAF?30，设DF?m1(m1?0)，则AF?3m1，AD?2m1，

?23)，得点D(?1?由点A(?1，3m1，?23?m1)．

因此(?1?

3m1)?(?23?m1)?23，

解之得m1?73?3，因此点D?6，3（m1?0舍去）

?3??． ???此时AD? 143······ 5分 3，与y BC的长度不等，故四边形ADBC是梯形． yD B C O A D B E x F C O A H x 图1

图2

如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D． 由于AC?BC，因此∠CAB?30?，从而∠ACD?150?．作DH?x轴，H为垂足，

?则∠DCH?60，设CH?m2(m2?0)，则DH?3m2，CD?2m2

由点C(?1，0)，得点D(?1?m2，3m2)， 因此(?1?m2)?3m2?23．

23)． 解之得m2?2（m2??1舍去），因此点D(1，此时CD?4，与AB的长度不相等，故四边形ABDC是梯形． ········ 7分 如图3，当过点C作AB的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D时，

?同理可得，点D(?2，3)，四边形ABCD是梯形． ·············· 9分

综上所述，函数y?23x图象上存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边

???3?或D(1，10分 23)或D(?2，?3)． ······ ??3?y 形为梯形，点D的坐标为：D?6，

D B C O A x

图3 3、（福建龙岩）如图，抛物线y?ax2?5ax?4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC?BC．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴x???5a2a?52y C ………2分

A 1 B （2）A(?3，4) C(0，4)…………5分 0) B(5，160 1 x 把点A坐标代入y?ax?5ax?4中，解得a??1622………6分

?y??x?56x?4…………………………………………7分

（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．

A 设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M． 过点B作BQ?x轴于Q，易得BQ?4，AQ?8，

AN?5.5，BM?1 y Ｍ Ｎ 0 1 Ｋ P3 Ｑ P2 P1 x 52

① ··························································································································以

AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．

?AB?AQ?BQ?8?4?80 ················· 8分

22222在Rt△ANP1中，P1N?AP1?AN22?AB?AN22?80?(5.5)?21992

?5?P1?，??2?199? ························· 9分 ??2?②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．

在Rt△BMP2中，MP2?BP2?BM22?AB?BM22?80?254?295210分

?58?295?P2?，?22?? ························ 11分 ???③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．

画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C． 过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ．

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