山西省大同一中2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 文（含解析(2)

A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．

故选：B．

7．下列叙述中正确的是（ ）

A．“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件 B．“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B” C．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x0∈R，x02≥0” D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数” 【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】A．根据充分条件的定义进行判断 B．根据椭圆的定义进行判断．

C．根据含有量词的命题的否定进行判断． D．根据逆否命题的定义进行判断．

【解答】解：A．当m=2时，两直线方程为“l1：2x+3y+4=0与l2：2+3y﹣2=0”此时两直线平行，即“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件正确． B．若A2+By2=1表示椭圆，则A＞0，B＞0，且A≠B，则“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”错误．

C．命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x0∈R，x02＜0”，故C错误，

D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，故D错误， 故选：A

6

8．直线y=a与函数y=x3﹣3x的图象有相异三个交点，则a的取值范围是（ ） A．（﹣2，2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（2，+∞） 【考点】利用导数研究函数的极值．

3

【分析】先求出函数与x轴的交点，然后利用导数求出函数的极值，结合函数y=x﹣3x的图象与y=a的图象，观察即可求出满足条件的a． 【解答】解：y=x3﹣3x=x（x2﹣3）=0 解得方程有三个根分别为，0， y'=3x2﹣3=0解得，x=1或﹣1 f（1）=﹣2，f（﹣1）=2

3

画出函数y=x﹣3x的图象与y=a

观察图象可得a∈（﹣2，2） 故选A．

9．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 【考点】直线与圆相交的性质．

【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．

222

【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）+（y﹣4）=5， 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10， 根据勾股定理得最短的弦|BD|=2

=4

，且AC⊥BD， =20

．

四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=×10×4

故选B

10．已知f（x）=ex+2xf′（1），则f′（0）等于（ ） A．1+2e B．1﹣2e C．﹣2e D．2e 【考点】导数的运算．

【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，继而求出f′（0）的值．

7

【解答】解：由f（x）=ex+2xf′（1）， 得：f′（x）=ex+2f′（1）， 取x=1得：f′（1）=e+2f′（1）， 所以，f′（1）=﹣e．

故f′（0）=1﹣2f′（1）=1﹣2e， 故答案为：B． 11．设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（ ） A．相交 B．相切

C．相离 D．以上答案均有可能 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M且到准线的距离是d．设P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．结合中位线的定义与抛物线的定义可得：

=

=半径，进而得到答案．

【解答】解：不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．

设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d． 而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|． 又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=由抛物线的定义可得：

=

=半径．

，

所以圆心M到准线的距离等于半径， 所以圆与准线是相切． 故选：B．

12．如图，已知椭圆

+

=1内有一点B（2，2），F1、F2是其左、右焦点，M为椭圆上的

动点，则||+||的最小值为（ ）

A．4 B．6 C．4 D．6

【考点】椭圆的简单性质． 【分析】借助于椭圆的定义把|两边之差小于第三边得答案． 【解答】解：|

|+|

|=2a﹣（|

|﹣|

|）≥2a﹣|

|=8

﹣2

=6

，

|+|

|转化为2a﹣（|

|﹣|

|），结合三角形中的

8

当且仅当M，F2，B共线时取得最小值6． 故选：B．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）

32

13．已知函数f（x）=x+ax，曲线y=f（x）在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，则切线方程为 3x+y+1=0 ．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义和两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，b，即可求出切线方程．

2

【解答】解：函数的导数为y′=f′（x）=3x+2ax， ∵曲线在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0， ∴曲线在点P处的切线斜率k=﹣3， 即k=f′（﹣1）=3﹣2a=﹣3，

32

解得a=3，此时f（x）=x+3x， 此时b=f（﹣1）=﹣1+3=2， 即切点P（﹣1，2），

则切线方程为y﹣2=﹣3（x+1）， 即3x+y+1=0

故答案为：3x+y+1=0． 14．已知

的左右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于x轴的直

线与双曲线左支交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则双曲线的离心率为 ． 【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a，c的关系．

【解答】解：由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1=30°， ∴AF2=2AF1，又|AF2|﹣|AF1|=2a． ∴AF2=4a，AF1=2a，又F1F2=2c，

又在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a+4c=16a，∴

2

2

2

=3．

∴e==，

故答案为：．

15．已知点E，F，M，N分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，AD，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF和MN所成的角为 90° ．

9

【考点】异面直线及其所成的角．

【分析】取BC中点O，连綀MO、NO，则EF∥MO，从而∠MON是异面直线EF和MN所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF和MN所成的角． 【解答】解：取BC中点O，连綀MO、NO，

∵E，F，M，N分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，AD，BB1，B1C1的中点， ∴EF∥MO，∴∠MON是异面直线EF和MN所成的角（或所成角的补角）， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为虎添翼， 则MN=MO==，ON=2， ∴MN2+MO2=NO2， ∴∠MON=90°．

∴异面直线EF和MN所成的角为90°． 故答案为：90°．

16．已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆上任意一点，AP是△AF1F2的外角平分线，且

=0，则点P的轨迹方程为 x+y=8 ．

2

2

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】根据等腰三角形“三线合一”，得到|MP|=|F2P|，从而|PF1|+|PF2|=|MF1|，结合椭圆的定义可得|MF1|=2a，运用中位线定理，即可得到动点P的轨迹对应的图形． 【解答】解：椭圆x2+2y2=8，即为可得a=2

， =0，可得

⊥

，

+

=1，

延长F1A和F2P交于M，连接OP，

可得|MP|=|F2P|，即有|PF1|+|PF2|=|AM|+|AF2|=|MF1|， 根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=4， ∴|MF1|=4，

10

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