点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查满足条件的最小正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
20．（14分）已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，左、右焦点分别为F1和F2． （1）求椭圆方程；
（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值； （3）试探究椭圆上是否存在一点P，使
，若存在，请求出点P的坐标；若不存
），离心率为
，
在，请说明理由．
考点： 向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 专题： 综合题；存在型；反证法．
分析： （1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得
2
2
2
，根
据a=b+c求出a的值，即求出椭圆标准方程；
（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值； （3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得定义列出两个方程，求出点P．
解答： 解：（1）由题意设椭圆标准方程为
．
，根据椭圆的焦距和椭圆的
的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在
由已知得，．（2分）
2
则，∴．解得a=6（4分）
∴所求椭圆方程为
（2）令M（x1，y1），则∵点M在椭圆上，∴∴当
（3）假设存在一点P，使
时，
（5分）
（7分）
，故|y1|的最大值为
的最大值为
．（9分）
（8分）
，
∵，∴
2
，（10分）
2
2
∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4 ①（11分） 又∵
2
②（12分）
，（13分）
最大值为．（14分）
，故矛盾，
∴②﹣①，得2|PF1|?|PF2|=20，∴即
=5，由（1）得
∴不存在一点P，使
点评： 本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a=b+c求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，
即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．
21．（14分）已知函数 f（x）=
+3a（a+2）x+1，a∈R．
2
2
2
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）当a=﹣1时，求函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值；
（3）当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析： （1）求出导数，切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出a=﹣1的函数的导数，求出单调区间和极值，以及端点的函数值，即可得到最值； （3）求出导数，分解因式，讨论①当x1=x2时，②当x1＞x2时，③当x1＜x2时，函数的零点与区间的关系，即可得到a的取值范围．
解答： 解：（1）当a=0时，
∴f（3）=1，∵f′（x）=x﹣2x，
曲线在点（3，1）处的切线的斜率k=f′（3）=3 ∴所求的切线方程为y﹣1=3（x﹣3），即y=3x﹣8， （2）当a=﹣1时，函数
2
2
，
，
∵f′（x）=x+2x﹣3，令f′（x）=0得x1=1，x2=﹣3， x2?[0，4]，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0， 即函数y=f（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，4）时，f′（x）＞0，即函数y=f（x）在（1，4）上单调递增， ∴函数y=f（x）在[0，4]上有最小值，又
；
，
∴当a=﹣1时，函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值分别为（3）∵f'（x）=x﹣2（2a+1）x+3a（a+2）=（x﹣3a）（x﹣a﹣2） ∴x1=3a，x2=a+2，
①当x1=x2时，3a=a+2，解得a=1，这时x1=x2=3，
函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求； ②当x1＞x2时，即3a＞a+2?a＞1，这时x1＞x2＞3， 又函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点， ∴
，
2
．
③当x1＜x2时，即a＜1，这时x1＜x2＜3
又函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点， ∴
，
综上得，当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时， a的取值范围是：﹣2＜a≤0或
或a=1．
点评： 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、求极值和最值，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题和易错题．
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第二次段考数学试卷（(4)在线全文阅读。
相关推荐：