数学选择压轴题（解析与答案）(3)

【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令1）上为减函数，

所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）． 故选C．

，所以a+2b=

，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，

【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=用心良苦之处．

19．（2015?安徽三模）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，

，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的

所有零点之和为（ ） A．2a﹣1 B．2a﹣1

﹣

，从而错选A，这也是命题者的

C．1﹣2a

﹣D．1﹣2a

【考点】函数的零点．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题．

【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，为计算提供简便．

【解答】解：当﹣1≤x＜0时?1≥﹣x＞0，x≤﹣1?﹣x≥1，又f（x）为奇函数 ∴x＜0时，

y=a（0＜a＜1）的图象，

画出y=f（x）和

如图

共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则

?log2（1﹣x3）=a?x3=1﹣2a，

可得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a， 故选D．

【点评】本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．

20．（2015?梅州二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，φ（x）=cosx（x∈（β，γ的大小关系是（ ）

A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．γ＜α＜β D．β＜α＜γ 【考点】函数的零点；函数的图象．菁优网版权所有 【专题】压轴题；新定义．

【分析】由题设中所给的定义，方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项．

【解答】解：由题意方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”， 对于函数g（x）=x，由于g′（x）=1，故得x=1，即α=1

对于函数h（x）=lnx，由于h′（x）=，故得lnx=，令r（x）=lnx﹣，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2 对于函数φ（x）=cosx（故有γ=

＞2

），由于φ′（x）=﹣sinx，故得cosx=﹣sinx，即tanx=﹣1，

，π））的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，

综上γ＞β＞α 故选A

【点评】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出α，β，γ的值或存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，计算能力属于基本题型

21．（2015?钦州模拟）若函数f（x）满足

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，

若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题；数形结合． 【分析】根据

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）

的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论． 【解答】解：∵∴x∈（﹣1，0）时，∴f（x）=

，

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，

，

因为g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点， 所以y=f（x）与y=mx+m的图象有两个交点，

函数图象如图，由图得，当0＜m故选 D．

时，两函数有两个交点

【点评】此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．

22．（2015?柳州一模）已知函数

，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根

的个数不可能为（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 【专题】压轴题；数形结合．

【分析】先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根数即可．

【解答】解：画图

，和y=2x2+x图象，

结合两个函数的图象可知

或a＞3，4个根， ，5个根，

，6个根．

故选A．

【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于难题之列．

23．（2015?黄山三模）已知函数

有且仅有3个实

数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（ ） A．5

B．

C．3

D．

【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据函数f（x）的对称性可知

=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅

有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得． 【解答】解：∵方程有3个实数根，所以必含有1这个根 令

=1，

=k有解时总会有2个根，

解得x=2或x=0

所以x12+x22+x32═02+12+22=5． 故选A

【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用．利用了函数图象的对称性和方程根的分布，考查了学生分析问题的能力．

24．（2014?广东模拟）已知a是函数f（x）=2x﹣满足（ ）

A．f（x0）=0 B．f（x0）＞0 C．f（x0）＜0 【专题】压轴题． 【分析】a是函数

的零点，函数

是增函数，本题

D．f（x0）的符号不确定

【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有

x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值

根据函数的单调性和零点的性质进行求解．

【解答】解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数

的零点，即f（a）=0， ∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0， 故选 C． 【点评】函数

是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数

的唯一零点．

25．（2014?武侯区校级模拟）已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（ ） A．（

，+∞）

B．（﹣∞，﹣

） C．（﹣

，﹣2） D．（2，

）

【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】压轴题；函数的性质及应用．

【分析】函数f（x）=|xex|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值 ，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（ ，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围． 【解答】解：f（x）=|xex|=

，

当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数； 当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），

由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，

所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e1=，

﹣

要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，

令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（ ，+∞）内，

再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0， 则只需g（ ）＜0，即（ ）2+t+1＜0， 解得：t＜﹣

．

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