(6)?x（F（x）?? G（x）） P (7) F（c）?? G（c） US(6) (8) ? F（c） T(5,7)I
(9)（?x）? F（x） EG(8)
3．在命题逻辑中构造下面推理的证明：
如果他是理科学生，他必须学好数学。如果他不是文科学生，他必是理科学生。他没学好数学，所以他是文科学生。
解 A:他是理科学生，B:他学好了数学，C:他是文科学生
前提：A?B，A?C，?B 结论：C 证 (1)A?B P
(2)?B P (3)?A T(1,2)I (4)A?C P (5)C T(3,4)I 4．用直接证法证明：
前提：（?x）（C（x）→ W（x）∧R（x）），（?x）（C（x）∧Q（x）） 结论：（?x）（Q（x）∧R（x））。
证 (1)（?x）（C（x）∧Q（x）） P
(2)C（c）∧Q（c） ES (1)
(3)（?x）（C（x）→ W（x）∧R（x）） P (4) C（c）→ W（c）∧R（c） US(3) (5) C（c） T(2)I
(6)W（c）∧R（c） T(4,5)I (7)R（c） T(6)I (8)Q（c） T(2)I
(9)Q（c）∧R（c） T(7,8)I (10) （?x）（Q（x）∧R（x）） EG(9)
第三章集合与关系
一、填空题
（1）如果|A|＝n，那么|A×A|＝n。A上的二元关系有2个。 （2）集合A上关系R的自反闭包r（R）=R?IA。
（3）设集合A上的关系R和S，R={<1，2>，<1，3>，<3，2>}，S={<1, 3>，
11
2n2<2，1>，<3，2>}，则S?R= {<1, 2>,<2,2>,<2,3>} 。 （4）如果|A|＝n，那么|P(A)|＝2n。
（5）设集合A上的关系R和S，R={<1，2>，<2，1>，<3，4>，<4，3>}，
S={<1，3>，<3，1>，<2，4>，<4，2>}，则R?S= {<1，4>，<2，3>，<3，2>，<4，1>}。 （6）设集合
E={a,
b,
c}，E
的幂集
P(E)＝
{?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}。
（7）设R是定义在集合X上的二元关系，如果对于每个x, y?X，
_每当xR y，就有 yRx_ ，则称集合X上的关系R是对称的。
（8）设关系R和S为，R={<1，2>，<3，4>，<2，2>}，S={<4，2>，<2，5>，
<3，1>，<1，3>}，则R?S =__{<1，5>，<3，2>，<2，5>}__。 （9）设R是定义在集合X上的二元关系，如果对于每个x?X，有xR x ，则称
集合X上的关系R是自反的。 二．判断题（正确的在括号内填√,错误的在括号内填×）
1．设A、B、C为任意的三个集合，则A×(B×C)=(A×B)×C。 （ × ） 2．设S，T是任意集合，如果S ?T = ?，则S = T。 （ × ） 3．集合A={1,2,3,4}上的关系{<1,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}是一个函数。 （ × ） 4．集合A={1，2，3，4}上的整除关系是等价关系。 （ × ） 5．集合A 的幂集P(A)上的包含关系是偏序关系。 （ √ ） 6．设A={a, b, c}, R? A×A且R={< a, b>,< a, c>}, 则R是传递的。 （ √ ） 6．设A，B是任意集合，如果B ? ?，则A – B ? A。 （ × ） 7．集合A={1,2,3}上的关系{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}是传递的。 （ √ ） 8．集合A={1，2，3，4}上的小于关系是等价关系。 （ × ） 9．关系{
12
三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入
下列叙述中的 内。
1．设A={a，b，c}，B={a，b}，则下列命题不正确的是 a) 。
a) A－B={a，b} b) A∩B={ a，b } c) A?B={c} d) B?A
2．设 A = {a, b, c, d}, A 上的关系R = {,
a) R = {, ,
a) R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} b) R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <2,1>,<2,4>,<3,1>,<3,4>,<4,4>} c) R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <2,1>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,4>} d) R={<2,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <4,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} 4．设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9，10}，以下哪个关系是从A到B的单射函数 b) 。
a) f ={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<1，9>，<5，10>} b) f ={<1，8>，<2，6>，<3，7>，<4，9>，<5，10>} c) f ={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<4，6>}
d) f ={<1，10>，<2，6>，<3，7>，<4，8>，<5，10>}
5．设 A = {a, b, c}，要使关系{,
a) R = {
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6．设S={?，{1}，{1，2}}，则S的幂集P（S）有 (4) 个元素
（1）3 （2）6 （3）7 （4）8
7．设R为定义在集合A上的一个关系，若R是 （2） ，则R为等价关系 。
（1）反自反的，对称的和传递的 （2）自反的，对称的和传递的 （3） 自反的，反对称的和传递的 （4）对称的，反对称的和传递的 8．设S，T，M为任意集合，下列命题正确的是 3) 。
1) 如果S∪T = S∪M，则T = M 2) 如果S-T = ?，则S = T 3) S-T ? S 4) S ? S = S
9．设 A = {a, b, c}，要使关系{,
（1）R = {
10．设A={1，2，3，4，5}，B={a，b，c，d，e}，以下哪个函数是从A到B的入射函数 2） 。
1) F ={<1，b>，<2，a>，<3，c>，<1，d>，<5，e>} 2) F={<1，c>，<2，a>，<3，b>，<4，e>，<5，d>} 3) F ={<1，b>，<2，a>，<3，d>，<4，a>} 4) F={<1，e>，<2，a>，<3，b>，<4，c>，<5，e>}
四、解答题
1．已知偏序集（A，≦），其中A={a，b，c，d，e}，“≦”为{（a，b），
（a，c），（a，d），（c，e），（b，e），（d，e），（a，e）}∪IA。
（1）画出偏序集（A，≦）的哈斯图。
（2）求集合A的极大元，极小元，最大元，最小元。 解
作哈斯图如右：
极小元和最小元为a；极大元和最大元为e
14
ebcad2．设R是集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}上的整除关系。
（1） 给出关系R；（2）画出关系R的哈斯图； （3）指出关系R的最大、最小元，极大、极小元。
解 R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>，<1,7>,<1,8>,<1,9>,<2,4>,<2,6>，<2,8>，<3,6>，<3,9>，<4,8>}
COV A={<1,2>,<1,3>,,<1,5>,<1,7>,,<2,4>,<2,6>，<3,6>，<3,9>，<4,8>} 作哈斯图如右： 869极小元和最小元为1；
4极大元为5,6,7,8,9, 无最大元
3．设R是集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系。
(1) 给出关系R； （2） 给出COV A
（3） 画出关系R的哈斯图；
（4） 给出关系R的极大、极小元、最大、最小元。
解 R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>，<1,12>,,<2,4>,<2,6>，<2,12>，<3,6>，<3,12>，
<4,12>,<6,12>}
COV A={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<2,6>，<3,6>，<4,12>，<6,12>}
12作哈斯图如右：
64极小元和最小元为1；
极大元和最大元为12 23
235171第五章代数结构
一、填空题
（1）集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∪”的零元为 __S___。 （2）集合S的幂集P(S)关于集合的交运算“∩”的零元为 __?___。 （3）集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∪”的么元为 __?__。 （4）一个代数系统＜S, * ＞，其中S是非空集合。*是S上的一个二元运算，
如果 运算*是封闭的 ，则称代数系统＜S, * ＞为广群。 二．判断题（正确的在括号内填√,错误的在括号内填×）
1．含有零元的半群称为独异点。 （ × ） 2．运算“＋”是整数集I上的普通加法，则群
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