离散数学同步练习册a

第一章命题逻辑

一、填空题

（1）设：p：派小王去开会。q：派小李去开会。则命题：

“派小王或小李中的一人去开会” 可符号化 为： （?p? q）?（p?? q） 。

（2）设A，B都是命题公式，A?B，则A?B的真值是 1或T 。 （3）设：p：刘平聪明。q：刘平用功。在命题逻辑中，命题：

“刘平不但不聪明，而且不用功” 可符号化为： ?p? ?q 。 （4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为

A ? B? ?B??A 。

（5）设，p：径一事；q：长一智。在命题逻辑中，命题：

“不径一事，不长一智。” 可符号化为： ?p??q 。 （6）设A , B 代表任意的命题公式，则德 ? 摩根律为

?（A ? B）? ?A ??B 。 （7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。则命题：“选小王或小李中的一人当班长。” 可符号化为： （?p? q）?（p?? q） 。 （8）设，P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题：

“他既聪明又用功。” 可符号化为： p? q 。

（9）对于命题公式A，B，当且仅当 A ? B 是重言式时，称“A蕴含B”，

并记为A?B。

（10）设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题：

“我们不能既划船又跑步。” 可符号化为： ?（P ? Q） 。 （11）设P , Q 是命题公式，德·摩根律为：

?（P ? Q）? ?P? ?Q 。

（12）设 P：你努力。Q：你失败。在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。” 可符号化为： ?p?q 。 （13）设 p：小王是100米赛跑冠军。q：小王是400米赛跑冠军。在命题逻

辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军。” 可符号化为： p? q 。

1

（4）设A，C为两个命题公式，当且仅当 A?C 为一重言式时，称C可由

A逻辑地推出。

二．判断题(判断下列命题的对错。正确的在括号内填√,错误的在括号内填×) 1. 设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A?B??A?B。 （ × ） 2. 命题公式?p?q??r是析取范式。 （ √ ） 3. 陈述句“x + y > 5” 是命题。 （ × ） 4. 110 (p=1,q=1, r=0)是命题公式 ((?(p?q))?r)?q 的成真赋值。 （ √ ） 5. 命题公式 p?(?p?q) 是重言式。 （ × ） 6. 设A，B都是合式公式，则A?B??B也是合式公式。 （ √ ） 7. A?(B?C)?( A?B)?(A?C)。 （ × ） 8. 陈述句“我学英语，或者我学法语” 是命题。 （ √ ） 9. 命题“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”是假命题。 （ × ） 10. “请不要随地吐痰！” 是命题。 （ × ） 11. P ? Q ? ? P ? Q 。 （ × ） 12. 陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视” 是命题。 （ √ ） 13. 命题公式（P?Q）?（?R?T）是析取范式。 （ × ） 14. 命题公式 (P??Q)? R ? (?P?Q) 是析取范式。 （ √ ） 三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内。

1．设：P：天下雪。Q：他走路上班。则命题“只有天下雪，他才走路上班。”可符号化为 （2） 。 （1）P?Q （2）Q ? P （3）? Q ?? P （4）Q ??P

2．(1 ) 明年国庆节是晴天。

(2 ) 在实数范围内，x+y〈3。 (3 ) 请回答这个问题！ (4 ) 明天下午有课吗？

2

在上面句子中，是命题的只有 (1 ) 。 3．命题公式A与B是等值的，是指 (4 ) 。 （1） A与B有相同的命题变元 （2） A?B是可满足式 （3） A?B为重言式 （4） A?B为重言式 4．(1 ) 雪是黑色的。

(2 ) 这朵花多好看呀！。 (3 ) 请回答这个问题！ (4 ) 明天下午有会吗？

在上面句子中，是命题的是 (1 ) 。

5．设：P：天下大雨。Q：他乘公共汽车上班。则命题“只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。”

可符号化为 （1） (因为天下雨，他可能不上班，不是充分条件)。 （1）Q?P （2）P ? Q （3）? Q ?? P （4）Q ??P

6．设：P：你努力；Q：你失败。则命题“除非你努力，否则你将失败。”

在命题逻辑中可符号化为 （3） 。 （1）Q?P （2）P ? Q （3）? P ?Q （4）Q ??P 7．(1 ) 现在开会吗？

(2 ) 在实数范围内，x+y ?5。 (3 ) 这朵花多好看呀！

(4 ) 离散数学是计算机科学专业的一门必修课。 在上面语句中，是命题的只有 (4 ) 。

8．设：P：天气好。Q：他去郊游。则命题“如果天气好，他就去郊游。”

可符号化为 （2） （理解为他去郊游，一定是在天气好的时候；但天气好的时候很多，不可能都在郊游）

3

（1）P?Q （2）Q ? P （3）? Q ?? P （4）Q ??P 9．下列式子是合式公式的是 （2） 。

（1）（P ? ? Q） （2） ?（P ?（Q ? R）） （3）（P ? Q） （4）? Q ? R 10．

（1）1＋101＝110 （2） 中国人民是伟大的。

（3） 全体起立！ （4） 计算机机房有空位吗？ 在上面句子中，是命题的是 （2） 。 11．

设：P：他聪明；Q：他用功。则命题“他虽聪明但不用功。”

在命题逻辑中可符号化为 （4） 。 （1）P ? Q （2）P ? Q （3）P ? ?Q （4）P ??Q 12．

(1 ) 如果天气好，那么我去散步。 (2 ) 天气多好呀！

(3 ) x=3。 (4 ) 明天下午有会吗？ 在上面句子中 (1 ) 是命题。 13．

设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。命题“王强身体很好，成

绩也很好。”在命题逻辑中可符号化为 （4） 。 （1）P ? Q （2）P ? Q （3）P ??Q （4）P ? Q

四、解答题

1．设命题公式为（?p?q）?（q??p）。 （1）求此命题公式的真值表； （2）给出它的析取范式； （3）判断该公式的类型。 解 （1） 真值表如下 p q ?p ?p?q q??p 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0

（?p?q）?（q??p）

1 1 1 0

4

（2）（?p?q）?（q??p）??（p?q）?（?q??p） ?（?p??q）??q??p（析取范式）

（主析取范式） ?（?p??q）?（p??q）?（?p?q）（3）该公式为可满足式

2．设命题公式为（p ? q）?（p ? r）。 （1）求此命题公式的真值表； （2）给出它的析取范式； （3）判断该公式的类型。

解 （1） 真值表如下

p q r p ? q p ? r （p ? q）?（p ? r） 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）（p ? q）?（p ? r）?（?p ? q）?（p ? r）?（?p?（p ? r）） ?（q?（p ? r））?（?p? r）?（q? r）?（q?p）（析取范式）

）?（q? r?（p??p））?（q?p?（r??r）） ?（?p? r?（q??q）

?（?p?q? r）?（?p??q? r）?（p?q? r）?（?p?q? r）?（p?q? r）?（p?q? ?r）

（主析取范式） ?（?p??q? r）?（?p?q? r）?（p?q? ?r）?（p?q? r）（3）该公式为可满足式

3．设命题公式为 ? Q ?（P ? Q）? ? P。 （1）求此命题公式的真值表； （2）求此命题公式的析取范式； （3）判断该命题公式的类型。

解 （1） 真值表如下

P Q ?Q P?Q ? Q ?（P ? Q） ? P ? Q ?（P ? Q）? ? P 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 （2） ? Q ?（P ? Q）? ? P??（? Q ?（?P? Q））?? P

）?? P??（?P? Q）?（ Q? ? P）?1（析取范式） ?（ Q? ?（?P? Q）

（主析取范式） ?（?P??Q）?（?P?Q）?（P??Q）?（P?Q）（3）该公式为重言式

4．完成下列问题 （1）求此命题公式 （P∧（Q→R））→S 的真值表；

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