FLAC3D基本原理(3)

式2.92中重复指标q并不累计求和。引入小应变的增量虎克定律来描述应力应变之间的关系，式2.92可得：

kqqdt???qq?1dt3nqS(l)(l) （2.93）

式2.93中?1?K?43G，K为体积模量，G为剪切模量。由于速度已经确定，则由式2.51可得：

?qq??13VnqS(l)(l) （2.94）

将式2.94带入2.93中得：

kqq(l)(l)?nq?S???9V?12 （2.95）

现在定义节点刚度矩阵的上限为：

k?max(k11,k22,k33)

l （2.96）

从式2.89可得四面体的节点质量贡献为：

(l)(l)m?max?nS?i??,i?1,39Vl?1?2? （2.97）

节点质量是为了保证数值计算的稳定。 （7） 力学阻尼

平衡方程需要提供阻尼，以得到静态解或是准静态解（非惯性）。在FLAC3D中局部非粘性阻尼为默认的静力计算阻尼。在动力分析中也是可以应用局部阻尼的。

在FLAC3D中求解均匀的稳定的运动时需要选择一种阻尼。这种情况发生在蠕变计算和桩的极限承载力计算中。这个阻尼称之为组合阻尼。组合阻尼在消减动能方面比局部阻尼效率要高。

在动力计算中一般采用瑞利阻尼和人工粘性阻尼。 局部阻尼：

在平衡运动方程2.74中施加局部阻尼力，则平衡方程变为：

Fi?l??l??f(i)?l??M?l??dvi????dt??l??l? l?1,nn （2.98）

f(i)为阻尼力，通过普遍的平衡力Fi和速度vi?l?定义如下：

f(i)?l????Fi?l?sign?vi?l?? （2.99）

??1,y?0;?sign(y)???1,y?0;?0,y?0?这个阻尼力通过阻尼常数?来控制，?默认为0.8。 局部阻尼具有如下特点：

1、 只有存在加速度时才会产生阻尼力，稳态运动是不会产生阻尼力。 2、 ?阻尼常数为一无量纲量。

3、 阻尼力是与频率无关的，在一个集合体中，不同的固有周期，采用相同

的阻尼常数。

局部阻尼与滞后阻尼有点相似，每次循环结束时能量损失都是独立的，或是不同的。

由式2.99可知，阻尼力是与与总合成力成比例的。而不像粘性阻尼是与速度的大小成比例的。当Fi?l?和vi?l?同号时，2.98可写为：

dvidt?l??Fi?l?(1??)?l?M （2.100）

当Fi?l?和vi?l?异号时，2.98可写为：

dvidt?l??Fi?l?(1??)?l?M （2.101）

以上两式可以写成表观质量的形式如下：

dvidt?l??Fi?l??m或是dvidt?l??Fi?l??m （2.102）

式2.102中m??M?l?1??,m??M?l?1??

图5 单自由度弹簧系统的运动

单自由度的弹簧系统的运动图3，当给定一个初始位移，在t=0，x=a见图5所示。像这样的运动，在每个循环中，当速度为0时，表观质量增加两次；当速度到达最大值时，其减小两次。阻尼力在每个循环中消减动能两次，在两个速度的峰值，部分质量被删减。注意：加速度在整个过程中是连续的，当质量被移除时，加速度瞬时值为0。

每个循环过程中移除的能量是通过放弃B点的动能或是：

?W(i)2??1???l??2??m(i)?m(i)??v(i)???2? （2.103）

瞬间移除的平均动能为：

W(i)?14?m?(i)?m(i)???v??l?(i)2 （2.104）

每个循环中最大储存能量的损失率称为单位能耗，在FLAC3D中，单位能耗可以采用阻尼常数来表述。对一个单自由度系统，或是单模态的振动，动能的峰值与储存能量的峰值一样，因此单位能耗可由下式表达：

?W(i)W(i)?4?m(i)?m(i)????m?(i)?m(i)???4? （2.105）

临界阻尼比D可以在小的阻尼中，建立与单位能耗之间的关系：

D??W(i)W(i)4???? （2.106）

?的默认值为0.8，所以D的默认值为0.25

公式2.105可以通过单个单元或是一列三个单元在突然施加重力荷载的情况下，系统振动到平衡来证实。两个实例都表明?WW值都很接近，说明局部阻尼式

与频率无关的。然而对一个多模态同时作用下的系统，局部阻尼对每个模态都采用相同的阻尼力。 混合阻尼

式2.99中考虑的阻尼力，仅仅考虑当速度分量的符号改变时才改变。在实际，有一重要的匀速运动（与需要衰减的振动大小相比），速度可能没有0点，因此能量并不消耗。通过一个单自由度系统承受谐波振动，可以推导出一可选方程（低效率）来考虑上述问题。这个系统的不平衡力是与速度的负值成比例。例如：

v?asin??t? （2.107）

dvdt22??a?sin??t?

2 （2.108）

因此dFdt是与速度v成比例的。在一个振荡系统中，dFdt的平均值为0，即使速度v的平均值不为0。在FLAC3D里面采用一种交替形式的阻尼，称之为混合阻尼来实现这个目的。阻尼力由速度和dFdt两项来构成，如下：

f?l?(i)??Fi2?l???dFi?sign???dt??l????l??-sign?vi??

??? （2.109）

这种阻尼适合于一振荡耗散运动中，有一个刚体运动的系统。然而混合阻尼在能量消散方面要比基于速度的局部阻尼效率低。因此局部阻尼依然是首先的阻尼。 2.5.3 网格离散

在三维常应变率单元中，四面体有不会产生沙漏变形的优点（由节点速度产生的变形形式，没有应变率，因此没有节点力增量）。当在塑性变形的框架下，这些单元不能够提供足够的变形模式。在某些特殊情况下，当某些重要的本构方程，要求体积没有变化时，这时他们不能个别的变形。在这些情况，单元响应比理论预期值要显得过渡坚硬。在FLAC3D中，采用一种混合离散技术来处理上述问题。

混合离散技术的原理是通过适当调整四面体第一应变率张量不变量，使得单元体积具有更大的灵活性。在这个方法中，单元中最粗糙的离散是采用四面体单元来离散，单元中某个四面体的第一应变率张量不变量做为整个单元中所有四面体的体积平均值。这个方法见图6。在草图的特殊变形模式中，个体的常应变率将会产生一个体积改变，而这与不可压缩的塑性流动理论不符。在这个例子中，

集合四面体（长方体）的体积仍然为常数，采用混合离散技术能使每个四面体都能反映单元这个性质，因此将会与理论预见值比较相符。

图6 混合离散技术的单元变形

在FLAC3D中，一个单元是由nt四面体组成，如图7所示nt=5。假定一个单元，假定四面体l的应变率单元式首先考虑的，然后将他们分解为偏量和静水压力项：

?ij??ij??l??l???l?3?ij （2.110）

式2.110中??l?应变率张量偏量，??l?为第一应变率张量不变量。

??l???ii （2.111）

?l?

图7 8节点单元两种离散方法（每种五个四面体）

第一应变率不变量，由每个四面体对体积的平均值得到：

?znt????k?1ntk?1?k?V?k?V?k? （2.112）

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