江西省临川一中2015届高三10月月考数学理试题（解析版） - 图文(2)

?an??loga?1?loga(n?N)，且 a2?a4?a6?9， 3n3n?1【题文】14.已知数列满足

则

log3(a5?a7?a9)的值是 ．

【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3

【答案解析】5 ∵数列{an}满足 log3an+1=log3an+1（n∈N*），∴3an=an+1， ∴数列{an}是等比数列．则公比为q=3．

∵a2+a4+a6=9，∴a5+a7+a9=q3（a2+a4+a6）=27×9=35， 则log3（a5+a7+a9）=log335=5．故答案为：5．

【思路点拨】数列{an}满足 log3an+1=log3an+1（n∈N*），可得3an=an+1，因此数列{an}是等比数列，则公比为q=3．再利用等比数列的性质、对数的运算性质即可得出．

【题文】15已知数列

?an?满足a1?6，an?1?an?2n，记cn?ann，且存在正整数M，使

*n?N,cn?M恒成立，则M的最大值为 ．

得对一切

【知识点】单元综合D5

【答案解析】4 ∵an+1-an=2n，∴an-an-1=2n-2，…a2-a1=2， ∴an-a1=2[（n-1）+（n-2）+…1+=n（n-1）∴an=n（n-1）+6，

an66∴cn=n=n+ n=n+n-1≥5-1=4

∵对一切n∈N*，cn≥M恒成立，∴M的最大值为4．故答案为：4．

an6【思路点拨】利用叠加法，求出an=n（n-1）+6，可得cn= n=n+ n-1，利用单调性求最

值，即可得出结论．

f(x)?【

题

文

】

16

已

知

函

数

xx?1x?2x?3???x?1x?2x?3x?4，则

55f(??3)?f(??3)?22___．

【知识点】单元综合B14

11111111【答案解析】8 f(x)=1-x?1+1-x?2+1-x?3+1-x?4=4- x?1-x?2-x?3-x?4 11115555(??3)?1(??3)?4(??3)?2(??3)?32222因为--=0，--=0，

所以答案为8

【思路点拨】先化简找出关系，再求出结果。 【题文】三、解答题

f(x)?cos(2x?π)?2sin2x3【题文】17．(10分)已知函数， f(α)?34，求sin的值. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)若为锐角，且2【知识点】三角函数的图象与性质C3

【答案解析】（1）π(2)

15?38 ???（1）∵f(x)=cos(2x-3)+2sin2x=cos2x?cos3+sin2x?sin3+(1-cos2x) 3311?=2cos2x+2sin2x+1-cos2x=2sin2x-2cos2x+1=sin(2x-6)+1 ∴f（x）的最大值为2，最小正周期为π．

??3?1（2）由f(2)=sin(α-6)+1=4得sin(α-6)=-4，

15∵0＜α＜2，∴-6＜α-6＜3，∴cos(α-6)=4，

15?38∴sinα=sin*(α-6)+6]=sin(α-6)cos6+cos(α-6)sin6=． 15?38∴sinα的值．

????????????【思路点拨】（1）首先，借助于二倍角公式化简函数解析式，f（x）═sin(2x-6 )+1， 然后，根据三角函数的图象和性质求解；

?3?1?（2）根据（f2）= 4，得到sin(α-6 )=-4 ，然后，结合α为锐角，求解cos(α-6 )= 154 ，

??最后，结合α=（α-6 ）+6 ，求解sinα的值． 【题文】18．(12分)已知

?an?是等差数列，满足a1?3，a4?12，数列?bn?满足b1?4，

b4?20，且?bn?an?是等比数列.

（1）求数列

?an?和?bn?的通项公式； （2）求数列?bn?的前n项和.

【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3

【答案解析】⑴

an?a1??n?1?d?3n?n?1，2，d??（2）bn?3n?2n?1?n?1，2，?

a⑴ 设等差数列?n?的公差为d，由题意得所以q3?a4?a112?3??333，

an?a1??n?1?d?3n?n?1，2，?．设等比数列?bn?an?的公比为q，由题意得

b4?a420?12??8bn?an??b1?a1?qn?1?2n?1q?2b1?a14?3，解得．所以．

从而

bn?3n?2n?1?n?1，2，bn?3n?2n?1?.

⑵ 由⑴知

3?n?1，2，?．数列?3n?的前n项和为2n?n?1?， 数列2n?1的前

??1?2n3n1×?2n?1nn?1?2?1??bn??n项和为n1?22．所以，数列的前项和为. 【思路点拨】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；

（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和． 【题文】19．(12分)如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AD?平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．

（1）求证：BC⊥A1B

（2）若AD?3，AB?BC?2，P为AC的中点，求二面角P?A1B?C的平面角的余弦值

A1C1B1DAPCB

【知识点】空间中的垂直关系空间角与距离的求法G5 G11 【答案解析】 （1）证明：

三棱柱 ABC?A1B1C1为直三棱柱，

?A1A?平面ABC，又BC?平面ABC， ?A1A?BC

-

AD?平面A1BC，且BC?平面A1BC，

?AD?BC． 又 AA1?平面A1AB,AD?平面A1AB,A1A?AD?A， ?BC?平面A1AB， 又A1B?平面A1BC，? BC?A1B

AAB，AB?平面A1AB,从而BC?AB

（2）由（1）知BC?平面1如图,以B为原点建立空间直角坐标系B?xyz

AD?平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上,? AD?A1B．

z A1C1B1y DAx PCB 在Rt??ABD中，AD?3，AB=2，sin?ABD?AD3?0AB2,?ABD?60 0AA?AB?tan60?23, Rt??ABAABC?ABCAA?111111AB在直三棱柱 中，．在中，

则B（0,0,0）,A(0,2,0),C（2，0，0）,P（1，1，0）,A1（0，2，23）,BP?(1,1,0)

BA1?（0，2，23）BC?(2,0,0)

设平面PA1B的一个法向量n1?(x,y,z)

??n1?BP?0??x?y?0???2y?23z?0 可得n1?(3,?3,3) ?n1?BA1?0即?则 ?设平面CA1B的一个法向量n2?(x,y,z)

??n2?BC?0?x?0??2y?23z?0n?BA?0?21则 ?即? 可得n2?(0,?3,3)

cosn1,n2?n1?n2n1n2?277 27?二面角P?A1B?C平面角的余弦值是7 12分

（2）或?AD?平面A1BC,则AD即为平面A1BC的法向量在Rt??ABD中，

33130,,)AD?(0,?,)AD?3，AB=2,则BD=1 可得D（22 22 cosn1?AD?n1?ADn1AD?277 27?二面角P?A1B?C平面角的余弦值是7 12分

【思路点拨】（Ⅰ）由已知得A1A⊥平面ABC，A1A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A1B． （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角P-A1B-C的平面角的余弦值． 【题文】20．(12分)数列

{an}的前n项和记为Sn,a1?t,点?Sn,an?1?在直线y?2x?1上，

?a?其中n?N*．（1）若数列n是等比数列，求实数t的值；

（2）设各项均不为0的数列

{cn}中，所有满足ci?ci?1?0的整数i的个数称为这个数列

{cn}的“积异号数”，令cn?nan?4{c}nan（n?N?）

，在（1）的条件下，求数列n的“积

异号数”

【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3 【答案解析】（1）1（2）1

?an?1?2Sn?1?a?2Sn?1（1）由题意，当n≥2时，有?n，两式相减，得an+1-an=2an，

∴an+1=3an，n≥2，∴当n≥2时，{an}是等比数列，要使n≥1时，{an}是等比数列，

a22t?1a则只需1=t=3，解得t=1．

nan?4n?3n?1?1nan=n?3n?1 （2）由（1）得等比数列{an}的首项为a1=1，公比为q=3，∴an=3n-1，∴cn=

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