13-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

教材分析

教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直接看出二项式系数的性质，当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数,体现了从特殊到一般的认知规律.“杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡.它和勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能.应注意抓住这一题材,对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感.

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解二项式系数的性质.

教学目标

重点: 理解二项式系数的性质,学会讨论二项式系数性质的一些方法,能解决与二项式系数有关的问题. 难点：讨论并解决与二项式系数有关的问题的方法． 知识点：(1)“杨辉三角”； (2)二项式系数的性质.

能力点：探究二项式系数的性质，方程思想，化归思想的数学思想的运用.

教育点：体验“发现”的乐趣，培养学生学习的兴趣；对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感. 自主探究点：通过写出n?1,2,3,?,6时的二项式系数,探究出二项式系数的性质. 考试点：解决与二项式系数有关的问题. 易错易混点：二项式系数与项的系数的区别. 拓展点：求项的系数的最大项的方法.

教具准备 多媒体课件和直尺. 课堂模式 学案导学 一、引入新课

【师】请同学们根据二项式定理写出(a?b),n?1,2,3,?,6的二项式系数. 【生】教师引导，写成如下形式：

1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 【师】你能发现一些新的规律吗？ 【生】（1）表中每行两端都是1；(2)与这两个1等距离的项的二项式系数相等；（2）除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

[设计意图]学生亲自动手实践，并去发现规律，激发起学习兴趣.

n二、探究新知

1

【师】这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了,所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示,在那本书里是用汉子表示的,这个表称为杨辉三角.

在欧洲,这个表认为是法国数学家帕斯卡发现的,杨辉三角的发现比欧洲早500年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.

我们结合杨辉三角,很容易得到二项式系数的性质:

012nr，Cn，Cn，?，Cn．Cn可以看成以r(a?b)n展开式的二项式系数是Cn为自变量的函数f(r)

定义域是{0,1,2,?,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的点（如图） (1)对称性.

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn?Cn直线r?mn?m）．

n是图象的对称轴． 2（2）增减性与最大值． 因为

kCn?n(n?1)(n?2)?(n?k?1)k?1n?k?1， ?Cn?k!kn?k?1决定， kn?k?1n?1， ?1?k?k2所以

Cnk相对于Cnk?1的增减情况由

当k?n?1时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 2n2nn?12，n当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C（3）各二项式系数和：

因为

1rr(1?x)n?1?Cnx???Cnx???xn，

Cn?12相等且同时取得最大值． n令x?1，则2?Cn?Cn?Cn???Cn???Cn

拓展：必修一教材中，当集合中的元素有n个时，则其子集的个数为2个，现在可以给出证明了. [设计意图] （1）介绍“杨辉三角”， 激励学生的民族自豪感.

（2）利用“杨辉三角”，由学生各抒己见，尽情地说出二项式系数的性质，然后教师像收口袋

一样总结归纳,体现学生的主体地位.

nn012rn三．理解新知

1.由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质,同时当二项式乘方次数不大时,可借助于它直接写出各项的二项式系数.

2.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二

2

项式系数相等并且最大.

3. 各二项式系数的和为2n,即C012rnnn?Cn?Cn???Cn???Cn?2,其推导方法为“赋值法”. [设计意图]使学生对知识的理解提升一个高度.

四、运用新知

例1 在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 【分析】师:在二项展开式中如何出现间隔项的和呢？ 学生： a?1,b??1.

证明：在展开式(a?b)n?C0n1nrn?rrnnna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)中，

令a?1,b??1，

则(1?1)n?C0123nnn?Cn?Cn?Cn???(?1)Cn， 即0?(C0213n?Cn??)?(Cn?Cn??)， 所以, C0213n?Cn???Cn?Cn??，

即在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 【点评】若要出现间隔项的和,-1可达到这个目的.

变式训练:

1.证明 C02n?Cn?C4n1n+?Cn?2n?(n为偶数).

[设计意图] (1)旨在让学生认识二项式系数的特点,(2)体会“赋值法”的运用. 2例2 已知：(x3?3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 【解答】解：令x?1，则展开式中各项系数和为(1?3)n?22n，

又展开式中二项式系数和为2n， ∴22n?2n?992，n?5．

（1）∵n?5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，

2222∴T2223?C(x3)3(3x)?90x6，T3322354?C5(x)(3x)?270x3， 210?4k（2）设展开式中第k?1项系数最大，则Tk5?k2kkk?1?C5(x3)(3x)?3Ck5x3，

∴??kkk?1k?1?3C5?3C579??3kCkk?1k?1??k?5?3C522，∴k?4， 3

即展开式中第5项系数最大，T5?C(x)(3x)?405x452324263．

【点评】展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用解不等式(组)的方法求解.一般地,如果第k?1项的系数最大,则与之相邻两项(第k项,第k?2项)的系数均不大于第k?1项的系数,由此列不等式组可确定k的范围,再依据k?N来确定k的值,即可求出最大项.

*变式训练:

2.（1）求(1?2x)的展开式中系数最大的项； （2）求(1?2x)的展开式中系数最大的项. 答案：（1）T6?672x；（2）T5?560x

[设计意图] (1)例题的设计旨在让学生理解二项式系数与系数的区别;(2)变式训练题,仅一个符号只差,但考虑符号问题,结果却变了,需引起学生注意.

例3 已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，求：

（1）a0?a1?a2???a7； （2）a1?a3?a5?a7； (3) a0?a2?a4?a6； （4）a1?a2???a7； （5）|a0|?|a1|???|a7|. 【分析】利用“赋值法”求解.

【解答】（1）当x?1时，(1?2x)?(1?2)??1，

展开式右边为a0?a1?a2???a7 ∴a0?a1?a2???a7??1，

（2）令x?1， a0?a1?a2???a7??1 ①

7令x??1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?3 ②

7754771?37①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??.

27?1?37(3) ①+② 得a0?a2?a4?a6=.

2 4

(4) 当x?0时，a0?1，∴a1?a2???a7??1?1??2. （5）解法一:考虑(1?2x)7?b0?b1x?b2x2???b7x7, 令x?1,得b0?b1?b2???b7=3,

7所以,|a0|?|a1|???|a7|?b0?b1?b2???b7=3.

7解法二:由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

由（2）中①+② 得：2(a0?a2?a4?a6)??1?37，

?1?37所以 a0?a2?a4?a6?，

2因此,|a0|?|a1|???|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7

?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37

【点评】要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一，它适用于恒等式.

变式训练:

3.在(2x?3y)10的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

答案:①2;②1;③奇数项的二项式系数和为2,偶数项的二项式系数和为2.

④奇数项的系数和为1?5;偶数项的系数和为1?5;

101099102102⑤x的奇次项系数和为a1?a3?a5???a9?1?5;

2x的偶次项系数和为a0?a2?a4???a10?1?5

210[设计意图] 这是高考常考的一种题型,巧妙运用“赋值法”，让学生切实掌握.

五、课堂小结

教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：(1)“杨辉三角”； (2)二项式系数的性质.

2．思想：方程思想、转化与化归思想、特殊与一般的思想．

教师总结:本节课主要研究二项式系数的性质，特别注意二项式系数与系数的区别，在求系数的和的问题

5

中，巧妙地运用“赋值法”.

[设计意图] 加强对学生学习方法的指导，做到“精讲精练”．

六、布置作业

1．阅读教材P32—35； 2.书面作业

必做题：P35 练习1，2,3. 习题1.3 A组 7,8; B组 1,2. 选做题：

1.（2010江西6）(2?25x)8展开式中不含x4的项的系数的和为 .

2. .在(x?3x?2)的展开式中，求x的系数. 3．已知Sn?2?Cn2n1n?12n?2n?1?Cn2???Cn?2?1(n?N*)，

求证：当n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除 3．课外思考 《自主学习丛书》P24.4.

[设计意图]现在的教材,可读性很强,培养学生良好的阅读教材的习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用所学知识，解决简单的数学问题；选做题的安排，是让学生巩固已有知识．

七、教后反思

1.本教案的亮点是例题典型性较强，变式训练较有针对性，例1也可安排在性质（3）中探究.

2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，更要注意课堂质量，而不仅仅是数量，可让学生板演过程，教师及时纠正.

3.数学有时让学生感到枯燥,本课可抓住“杨辉三角”这一知识点，亦可引申到祖冲之的圆周率,增加学生的学数学的兴趣.

八、板书设计

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 1.“杨辉三角” 2. 二项式系数的性质: （1） （2） （3） 例1. 例2． 例3．

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