[数学文]2011届高考模拟题（课标）分类汇编：数列(2)

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8．(2011·佛山一检)在等差数列?an?中，首项a1?0,公差d?0，若ak?a1?a2?a3???a7，则k?( B )

A．21 C．23

B．22 D．24

9．(2011·佛山一检)（本题满分14分）

已知正项等差数列?an?的前n项和为Sn，若S3?12，且2a1,a2,a3?1成等比数列. （Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）记bn?an3n的前n项和为Tn，求Tn.

解：（Ⅰ）∵S3?12，即a1?a2?a3?12，∴3a2?12，所以a2?4，--------------------------------2 又∵2a1，a2，a3?1成等比数列，

22∴a2?2a1?(a3?1)，即a2?2(a2?d)?(a2?d?1)， --------------------------------4分

解得，d?3或d??4（舍去），

∴a1?a2?d?1，故an?3n?2； ---------------------------------------7分 （Ⅱ）法1：bn?∴Tn?1?①?1313?4?an3132n?3n?2313n?(3n?2)?13n，

13n?7?1323???(3n?2)?133， ①

13n得，Tn?1?323Tn?131?4?132?7?133134???(3n?5)?134?(3n?2)?1n?1①?②得，?3??3??3????3?13n?(3n?2)?31 ②

3n?1

1?13?3?32(1?1?1313n?1)?(3n?2)?31n?1?56?12?13n?1?(3n?2)?13n?1

∴Tn?54?143?13?n?2?3n?22?n??131n?54?6n?541n?13n． ---------------------------------------14分

法2：bn?ann3n?23n3n?1?2?3，

13n?1设An?1?2?13?3?132?4?133???n?， ①

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则

13An?13?2?23132?3?13?133?4??133134???n?13n?113n， ②

13n①?②得，

An?1?132????n?

n13313??n?n??(?n)?n 132231?39931∴An??(?n)?n，

442311?(1?n)3?9?(9?3n)?1?(1?1)?5?6n?5?1． ∴Tn?An?2?3nnn1442334431?31?110．（2011·广东四校一月联考）设Sn为等比数列?an?的前n项和，已知3S3?a4?2，

3S2?a3?2，则公比q? （ B ）

C．5

D．6

A．3 B．4

11．（2011·广东四校一月联考）（本小题满分14分）

设函数f(x)?f(xn)?xn?1(n?N)

*xa(x?2)，方程x?f(x)有唯一解，其中实数a为常数，f(x1)?22013，

（1）求f(x)的表达式； （2）求x2011的值； （3）若an?

解：（1）由

24xn?4023且bn?an?1?an2an?1an22(n?N)，求证：b1?b2???bn?n?1

*xa(x?2)?x，可化简为ax(x?2)?x

12?ax?(2a?1)x?0 -------2分?当且仅当a?时，方程x?f(x)有唯一解． ---3分

从而f(x)?2xx?2 -------4分

2xnxn?2*（2）由已知f(xn)?xn?1(n?N*)，得

?1xn?1?12?1xn?xn?1

-------5分

，即

1xn?1?1xn?12(n?N)

?1?1?数列??是以

x1?xn?1xn?1x1?(n?1)?12? taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

为首项，

12为公差的等差数列． -------6分

2x1(n?1)x1?2(n?1)x1?22x1，?xn?，即x1?

?f(x1)?22013，?12x1x1?2?2201311006

?xn?21006?1n?2011(n?1)??2100622011?2011?120112n?201122? -------7分

故x2011? -------8分 ，?an?4?2（3）证明：?xn?an?1?an2an?1an22n?201122?4023?2n?1 -------10分

12n?112n?1?bn??(2n?1)?(2n?1)2(2n?1)(2n?1)13)?(1??4n?14n?1152?1?2(2n?1)(2n?1)12n?1?12n?1=1?? ---12分

?b1?b2??bn?n?(1?1?13?)???(1?)?n?1?12n?1?1,

故b1?b2???bn?n?1 -------14分

12．(2011·广州期末)已知等比数列

?an?的公比是2，

a3?3，则

a5的值是 12 .

13．(2011·广州期末)（本小题满分14分） 已知数列

{an}的前n项和为

nSn，且满足

?Sn?1?an(n?*{b}N).各项为正数的数列n中，

对于一切n?N,有 （1）求数列 （2）设数列（1）解：∵

{an}*?k?11bk?bk?1nb1?bn?1， 且

b1?1,b2?2,b3?3.

和

{bn}的通项公式；

Tn{anbn}的前n项和为，

,求证:

Tn?2.

Sn?1?ana?S1?1?a1当n?1时,1, 解得

a1?12. ……1分

a?Sn?Sn?1??1?an???1?an?1?当n?2时,n,

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an得

2an?an?1, 即

an?1?12. …… 3分

11∴数列

{an}是首项为2, 公比为2的等比数列.

n?1?1?an????2?2?∴

1?12. …… 4分

nn?n ∵ 对于一切n?N*?1,有k?1bk?bk?1b1?bn?1， n?1?1?n?1当n?2时, 有

k?1bk?bk?1b1?bn， 1?n?n?11

? ② 得：

bn?bn?1b1?bn?1b1?bn 化简得:

(n?1)bn?1?nbn?b1?0, 用n?1替换③式中的n，得：nbn?2?(n?1)bn?1?b1?0, ③－④ 整理得：

bn?2?bn?1?bn?1?bn，

∴当n?2时, 数列{bn}为等差数列.

∵

b3?b2?b2?b1?1,

∴ 数列{bn}为等差数列. ∵

b1?1,b2?2

∴数列

{bn}的公差d?1.

∴

bn?1??n?1??n. (2)证明:∵数列

{anbn}的前n项和为

Tn,

T1?2?3n?222???n ∴

232n, ⑤ 1T2n ∴2n?122?22???2n?1 , ⑥

①

②

③

④ ……6分

…… 8分

…… 10分

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1⑤－⑥得：2Tn?12?122???12n?n2n?1 …… 12分

n1??1???1????2??2??n????n?1121?2

?1?n?22n?1

Tn?2?n?22n.

?2∴. ……14分

14．（2011·哈九中高三期末）若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别是Sn和Tn，已知

SnTn

?

7nn?3，则

a5b5? B．

（ ） D．

A．7

23 C．

278

214

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质，把

a5b5转化为

S9T9.

9(a1?a9)【解析】

a5b5?2a52b5?a1?a9b1?b9?S212. ?9?2(b1?b9)T942【考点】数列。

【点评】如果两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别是Sn和Tn，仿照本题解析的方法一定有关系式

anbn?SnTn。

15．（2011·哈九中高三期末）设?an?是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件a1?1,a99a100?1?0,a99?1a100?1?0，给出下列结论：

（1）0?q?1；（2）T198?1；（3）a99a101?1；（4）使Tn?1成立的最小自然数n

等于199，其中正确的编号为 【答案】（1）、（3）、（4）。

【分析】首先判断数列的单调性，然后再根据等比数列的性质进行分析判断。

【解析】根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据

a99a100?1?0，可知该等比数列的公比是正值，再根据

a99?1a100?1?0可知，a99,a100一个大于1，一个小于1，

而a1?1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0?q?1，而且a99?1,a100?1，又

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