[数学文]2011届高考模拟题（课标）分类汇编：数列

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【数学文】2011届高考模拟题（课标）分类汇编：数列

1．（2011·朝阳期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2?a4?6，则S5等于 ( C )

（A）10 （B）12

（C）15 (D) 30

2．（2011·朝阳期末）（本小题满分14分）

已知点Pn(an, bn)（n?N）满足an?1?anbn?1，bn?1??bn1?4a2n，且点P1的坐标为(1, ?1).

(Ⅰ)求经过点P1，P2的直线l的方程；

(Ⅱ) 已知点Pn(an, bn)（n?N）在P1，P2两点确定的直线l上，求证：数列{??1an}是等差数列.

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有n?N，能使不等式(1?a1)(1?a2)?(1?an)≥ k1b2b3???bn?1成立的最大实数k的值.

b11?4a12解：(Ⅰ)因为b2??13，所以a2?a1b2?13. 所以P2(, ). ……… 1分

3311所以过点P1，P2的直线l的方程为2x?y?1. ………………………… 2分 (Ⅱ)因为Pn(an, bn)在直线l上，所以2an?bn?1. 所以bn?1?1?2an?1. …… 3分

由an?1?anbn?1，得an?1?an(1?2an?1). 即an?1?an?2anan?1. 所以

1an?1?1an1an?2. 所以{1an}是公差为2的等差数列. ………………… 5分

（Ⅲ）由(Ⅱ)得?1a1?2(n?1).

所以

1an?1?2(n?1)?2n?1.

12n?1所以an?. …………………………………………………………… 7分

2n?32n?1所以bn?1?2an?. ……………………………………………… 8分

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依题意k≤(1?a1)(1?a2)?(1?an)b2b3???bn?1恒成立. 设F(n)?(1?a1)(1?a2)?(1?an)b2b3???bn?1， 所以只需求满足kF(n?1)F(n)≤F(n)的F(n)的最小值. ………………………………… 10分

因为

?(1?a1)(1?a2)?(1?an)(1?an?1)b2b3???bn?2(1?a1)(1?a2)?(1?an)b2b3???bn?1

=(1?an?1)bn?2??2n?22n?12n?3=4n?8n?44n?8n?322?1，

所以F(n)（x?N）为增函数. ……………………………………… 12分

23233所以F(n)min?F(1)??.

所以k

≤233. 所以kmax?233. ……………………………………… 14分

3．(2011·丰台期末) 已知等比数列{an}的公比为

A．30

12，并且a1+a3 + a5 +…+a99=60，那么a1+a2 +a3+…+a99 +a100的值是( B )

C．100

D．120

B．90

4．(2011·丰台期末) （本小题满分13分）

2已知函数f(x)?ax?bx(a?0)的导函数f?(x)??4x?22，数列{an}的前n项和为Sn，点

Pn(n,Sn)（n?N）均在函数y?f(x)的图象上．

* （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

* （Ⅱ）存在k?N，使得

S11?S22???Snn?k对任意n?N恒成立，求出k的最小值；

*（Ⅲ）是否存在m?N，使得

*am?am?1am?2为数列?an?中的项？若存在，求出m的值；若不存在，请说明

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理由．

解：（Ⅰ）因为 f(x)?ax2?bx(a?0)，所以 f?(x)?2ax?b．

因为 f?(x)??4x?22， 所以a??2，b?22．

所以f(x)??2x2?22x． 因为 点Pn(n,Sn)（n?N*）均在函数y?f(x)的图象上， 所以 Sn??2n2?22n． 当n?1时，a1?S1?20，

当n?2时，an?Sn?Sn?1??4n?24，

所以 an??4n?24 （n?N*）． ………………………4分 （Ⅱ）存在k?N*，使得

S11S22S11?S22Snn???Snn?k对任意n?N恒成立．

*只要k?(????)max

2由（Ⅰ）知Sn??2n?22n，

所以

Snn??2n?22?2(11?n)．

Snn?0； 当n?11时，

S11?S22Snn?0； 当n?11时，SnnSnn?0；

当n?11时，

所以 当n?10或n?11时，所以 k?110， 又因为 k?N，

*???有最大值是110．

所以k的最小值为111． ………………………8分 （Ⅲ）存在m?N，使得

*am?am?1am?2为数列?an?中的项．

由（Ⅰ）知 an?24?4n，

所以 am?24?4m，am?1?20?4m，am?2?16?4m， 所以

am?am?1am?2?(24?4m)?(20?4m)16?4m?4(6?m)(5?m)4?m．

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令t?4?m(t?3，t?Z)，

am?am?1am?2am?am?1am?24(6?m)(5?m)4?m4(2?t)(1?t)t2t所以

???4(t?3?2t)，

如果

是数列{an}中的项，那么t?3?为小于等于5的整数，

所以 t?{?2,?1,1,2}． 当t?1或t?2时，t?3?2t?6，不合题意； 2t?0，符合题意．

当t??1或t??2时，t?3?所以，当t??1或t??2时，即m?5或m?6时，

am?am?1am?2为数列?an?中的项．

5. (2011·东莞期末)在等比数列?an?中，如果a1?a3?4,a2?a4?8,那么该数列的前8项和为

( D )

A．12 B．24 C．48 D．204

6. (2011·东莞期末)将正方形ABCD分割成n2(n?2,n?N)个全等的小正方形（图1，图2分

别给出了n?2,3的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点A,B,C,D处的四个数互不

A B

A B

D C

D C

相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f?n?，则

f(4)?( C )

图1 图2

A．4 B．6 C．

254 ．

132

7．(2011·东莞期末)(本小题满分14分)

n?1已知数列?an?的各项满足：a1?1?3k(k?R)，an?4?3an?1.

(1) 判断数列{an?4n7}是否成等比数列；

（2）求数列?an?的通项公式；

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(3) 若数列?an?为递增数列，求k的取值范围. 解：（1）an?1?4n?17?4?3an?4n4nn?17??3an?37?4

n ??3(an? a1?47?1?3k?171747474717?737)，

?3k．

当k?当k?时，a1?时，a1??0，则数列{an??0，则数列{an?44n7n}不是等比数列；

}是公比为?3的等比数列．

n?17（2）由（1）可知当k? an?( 当k?17时，an?n?14n7?(37?3k)?(?3)，

37?3k)?(?3)4n?4n7．

时，an?7，也符合上式，

37?3k)?(?3)n?1 所以，数列?an?的通项公式为an?( (3) an?1?an? ?4n?1n?4n7．

4nn?1?3??3????3k???3?????3k???3? 77?7?7??n3?47?12???3?7n?1n?1?12???3?n?1k．

∵ ?an?为递增数列， ∴3?47n?12???3?7?12???3?n?1k?0恒成立．

①当n为奇数时，有?4?由1????3?n?13?47n?12?37n?1?12?3n?1n?11??4??k?0，即k??1????恒成立，

7??3?????4??1????3?71?1?0得k?0．

n②当n为偶数时，有

n?13?4?12?37n?1?12?3n?1n?11??4??k?0，即k??1????恒成立，

7??3????7?4??4?由1????1????，

3?3??3?1得k?．

32?1故k的取值范围是?0,?．

?3??1?

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