2016年广东省茂名市中考数学试卷(4)

得：，解得：．

（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如图所示．

∵A、O两点关于直线l对称， ∴点M为线段OA的中点， ∵点A（﹣1，4）、O（0，0）， ∴点M的坐标为（﹣

，2）．

，2）．

∴直线l与线段AO的交点坐标为（﹣

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以及中点坐标公式，解题的关键是：（1）由点的坐标利用待定系数法求函数系数；（2）得出点M为线段AO的中点．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了中点坐标公式降低了难度． 23．（8分）（2016?茂名）某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息： “读书节”活动计划书 书本类别 A类 B类 18 12 进价（单位：元） 1、用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本； 备注 2、A类图书不少于600本； … （1）陈经理查看计划数时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A、B两类图书的标价；

（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？

【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．

【分析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x，然后根据题意列出方程，求解即可．

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（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000﹣t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案． 【解答】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元， 根据题意可得

﹣10=

，

化简得：540﹣10x=360， 解得：x=18，

经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意， 则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），

答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；

（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27﹣a）元（0＜a＜5）， 由题意得，

，

解得：600≤t≤800，

则总利润w=（27﹣a﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t） =（9﹣a）t+6（1000﹣t） =6000+（3﹣a）t，

故当0＜a＜3时，3﹣a＞0，t=800时，总利润最大； 当3≤a＜5时，3﹣a＜0，t=600时，总利润最大；

答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．

【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解． 24．（8分）（2016?茂名）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=

∠A．

（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若sinB=

，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．

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【考点】切线的判定． 【分析】（1）首先连接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，

又由∠OFE=∠A，易得EF平分∠BFG，继而证得OE∥FG，证得OE⊥BC，

则可得BC是⊙O的切线； （2）由在△OBE中，sinB=

，⊙O的半径为r，可求得OB，BE的长，然后

由在△BFG中，求得BG，FG的长，则可求得EG的长，易证得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案． 【解答】（1）证明：连接OE，

∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC， ∴∠BGF=∠C=90°， ∴FG∥AC， ∴∠OFG=∠A， ∴∠OFE=

∠OFG，

∴∠OFE=∠EFG， ∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF， ∴∠OEF=∠EFG， ∴OE∥FG， ∴OE⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=∴OB=

r，BE=

r， r， r， =r，

r，EG：FG=1：2，

2

，⊙O的半径为r，

∴BF=OB+OF=∴FG=BF?sinB=∴BG=

∴EG=BG﹣BE=∴S△

FGE=

r，

EG?FG=

∵BC是切线， ∴∠GEH=∠EFG， ∵∠EGH=∠FGE， ∴△EGH∽△FGE， ∴

=（

）=

，

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∴S△EHG=S△FGE=

r．

2

【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

25．（8分）（2016?茂名）如图，抛物线y=﹣x+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

2

【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式； （2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线

BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC

2

和PE，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴

，

2

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解得，，

2

∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x+2x+3； （2）如图1，连接PC、PE， x=﹣

=﹣

=1，

当x=1时，y=4，

∴点D的坐标为（1，4），

设直线BD的解析式为：y=mx+n， 则解得，

，

，

∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6， 设点P的坐标为（x，﹣2x+6），

222222

则PC=x+（3+2x﹣6），PE=（x﹣1）+（﹣2x+6）， ∵PC=PE，

2222

∴x+（3+2x﹣6）=（x﹣1）+（﹣2x+6）， 解得，x=2，

则y=﹣2×2+6=2，

∴点P的坐标为（2，2）；

2

（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a+2a+3）， ∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形，

2

∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a+2a+3|，

2

当2﹣a=﹣a+2a+3时，

2

整理得，a﹣3a﹣1=0， 解得，a=

，

2

当2﹣a=﹣（﹣a+2a+3）时，

2

整理得，a﹣a﹣5=0， 解得，a=

，

，0），

∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（（

，0），（

，0），（

，0）．

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