数字信号处理（姚天任江太辉第三版）课后习题答案(5)

（4）

?n??Z1?X(z)?u(n)Z?n??n???n!n?0n!?1?Z?1

?2?3?n111?2!Z?3!Z?...?n!Z?...

?e1x

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为

Rx?的圆的外部区域，这里

x(n?1)1RX??lim?lim?0

n??n??n?1x(n)X(n)还是因果序列，可以有 (5)

Z?? ，故收敛域为

0?Z?? ，无零点，极点为0。

X(z)= n?????sin(wn??)u(n)z0??n

??sin(w0n??)zn?0??1

??

n?0ej(w0n??)?e2j?j(w0n??)?z?n

j?ej??e??(ej??z?1)n?(e?j??z?1)n

2jn?02jj(w0??)?j(w0??)j??j??1(e?e)?(e?e)z1?

2j1?(ejw0?e?jw0)z?1?z?2sin??sin?w0???z?1 ?1?2cosw0z?1?z?ix?n?是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为R0的圆的外部象区域,这里

sin?w0?n?1????x?n?1????1

R0?lim?limx??x??x?n?sin?w0n???sin?w0???.极点为 x?n?还是因果序列,大故收敛域为1?z??.零点为0和

sin?cosw0?jsinw0和cosw0?jsinw0.

2.21 用三种方法求下列Z变化的逆变换

11,|Z|< 121?z?1211?z?112（2）X(Z)=, |Z|>

3121?z?1?z?248（1）X(Z)=

1?az?1?1（3）X(Z)=?1,|Z|>|a|

z?a

解（1）采用幂级数法。由收敛域课确定x1（n）是左边序列。又因为limX1(z)＝1为有限值，所以x1（n）

x??是逆因果序列。用长除法将X1（z）展开成正幂级数，即

111?z?12?2z?4z2?8z3?16z4?21z5?... X1(z)??(?1)n?12nzn?...??(?1)n?1?n?12z???(?2)nz?nnnn?1?最后得到

x1（n）＝-2（-2）

或

x1（n）＝?(?)u(?n?1)

?n，n＝-1，-2，-3……

12n（2）采用部分分式展开法。将X2(z)展开陈部分分式

1?11z1?z?122X2(Z)??31111?z?1?z?2(1?z?1)?(1?z?1) 4824A1A2??111?z?11?z?1241?其中

1?1Z2A1??411?Z?114Z??1?21?1Z2A2???3 11?Z?112Z??1?4由收敛域可确定X2(n)式右边序列。又因limX2(z)＝1，所以X2(n)还是因果序列。用长除法分别将

x??4?3展开成负幂级数，即 ?1?11?11?z1?z241?11?21?31n?n4＝4[1?z?z?z?...?()z?...] 124821?z?12=

1n?na(?)z ?2n?0?1?11?21?31?3z?...?()nz?n?...] =-3[1?z?z?1481641?z?141=??3(?)z?n

4n?0由上两式得到

?n11x2(n)?[4(?)n?3(?)n]u(n)

24

（3）采用留数定理法。围线积分的被积函数为

x3(n)zn?1(1?az?1)zn?1(1?a?1z)zn?1?? ?1?1z?az?a1，因此 a当n>0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点z?1x3(n)?Res[x3(z)zn?1,]?(1?a?1z)zn?11z?aa ?(a2?1)a?n?1,n?0当n=0时，被积函数在围线之内有两个极点z?1和z＝0，因此 a1x3?Res[X3(z)zn?1,]?Res[X3(z)zn?1,0]a?1?1z?1a?(1?az)z1?a?1z?z?a?1

z?0?(1?a?2)a?a??a?1,n?0当n<0时，因为x3(z)zn?1在围线之外无极点，且x3(z)zn?1在z＝?处有1－n≥2阶极点，所以有x3(n)＝0，n<0 最后解得

?(a2?1)a?n?1,n?0??1x（n）???a,n?03 ?0,n?0?2?n?1故x（u(n?1)?a?1?(n)3n）＝(a?1)a

2.22 求下列Z变换的逆变换 (1)X（z）=

1，1<|z|<2

(1?z?1)(1?2z?1)(2)X(z)=

z?5,0.5<|z|<2 ?1(1?0.5z)(1?0.5z)e?Tz?1?Te(3)X(z)=,|z|> ?T?12(1?ez)(4)X(z)=

z(2z?a?b),|a|<|z|<|b|

(z?a)(z?b)解 （4）

采用部分分式法

A1A2?

1?z?11?2z?111??1,A??2 A1?|2?1t?1?1|t?21?2z1?z X4(z)?根据收敛域1?|z|?2,1?2和分别对应一个因果序列和逆因果序列。将它们分别展开成z的负

1?z?11?2z?1幂级数和正幂级数，即

??1?n ??z??11?zn?6????2?(n?1)n ??2z??2n?1z?n ?11?2zn?1n??1最后得到

X4(4)??u(n)?2n?1u(?n?1)

用留数定理法,被积函数

X5?z?zn?1z?5?zn?1??z?5?z

???1?0.5z?1??1?0.5z???0.5??1?0.5z?根据收敛域0.5?z?2可知,对应的是一个双边序列.其中

0.5?z对应于一个因果序列 , 即n<0时,x?n??0;n?0时,被积函数有1个极点0.5在围线内,

故得

x5?n??Res??X?z?zn?1??????????

(z?5)zn1 ???6()n,n?0

(1?0.5z)z?0.52|z|<2对应于一个逆因果序列，即n?0时，x(n)=0;n<0时，被积函数在围线外有1个极点2，且

分母多项式的阶比分子多项式的阶高2－（n＋1）＝1-n?2，故得

n?1x5?n???Res?Xzz,2????5?

z?5?zn??z?0.5n?2??2n?1?????,??????n?0

最后得到

??1?n??6???,????n?0x5?n???? ?2???2n??1??????,????n?0??1?或 xn?n???6??u?n??2n?1u??n?1?

?2?采用留数定理法，被积函数

nX??z?zn?1?c?Tzn?z?1?c?Tzlz??z?c??c?lzn?Tz

根据收敛域|z|?c?T可以知道，对应的序列是一个因果序列。即n<0时， 在x?n??0时，在n?0时，被

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