数字信号处理（姚天任江太辉第三版）课后习题答案(4)

X(ejwn)?X*(e12?jwn????x(n)en????jwn)?(?x*(N)ejwn)*?n???jwnx*(n)e???????X(ejw)X*(ejw)dw?1?2?????[m?????x(m)e?jwn][?x*(n)ejw]dwn????m????x(m)n????x*(n)?12?????ejw(n?m)dw其中????n?m??????2?,....?jw(n?m)ejw(n?m)dw??e?e?jw(n?m)?0,....n?m?n?m?n???1?jwjwX(e)X*(e)dw????2?证法二：?x(n)x*(n)?n????x(n)x*(n)??

1??x(n)[2?n???1??x(n)[2?n???1?2?1?2??????X(ejw)e?jwndw]

???jw?X*(ejw)ejwndw])????X*(en????x(n)e??jwndw????X(ejw)X*(ejw)dw

2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T表示取样周期，假设T很小，足以防止混叠失真，把从x?(t)到y?(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。 （1）如果数字滤波器h（n）的截止频率?等于理想低通滤波器的截止频率fc （2）对

?1rad，＝10kHz，求整个系统的截止频率fac，并求出8T1＝20kHz，重复（1）的计算 T

?（弧度/秒）折合成数字域频率为?（弧度），它比数字滤波器h（n）的T??截止频率（弧度）要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率（弧度）来决定。将

88解 理想低通滤波器的截止频率其换算成实际频率，即将fs＝

12?fac?＝10000Hz带入?，便得到 Tfs8fac＝625 Hz

理想低通滤波器的截止频率

??（弧度/秒）换算成实际频率使得到fc，即由＝2?fc，得到 TTfac＝

110000==500 Hz 2T2

2.19 求下列序列的Z变换和收敛域 （1）?（n－m） （2）()u(n) （3）au(-n-1)

（4）()[u(n)?u(n?10)] （5）cos(?0n)u(n)

n12n12n解：（1）X(z)＝?δ(n?m)zn=z-nm

当m>0时，x(n)是因果序列，收敛域为0<｜z｜≤∞，无零点，极点为0(m阶); 当m<0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0≤｜z｜≤∞，零点为0(m阶)，无极点; 当m=0, X(z)＝1，收敛域为0≤｜z｜≤∞，既无零点，也无极点 （2）X(z)＝????1?-n

??u(n)z=??2?n?0?nn?-??1?1?z???2?n=

1 1?11?z2X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx?的圆的外部区域，这里 Rx?＝limn??1x(n?1)＝ 2x(n)1<｜z｜≤∞。零点为0，极点2τ（n）还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为

为

1。 211<｜z｜≤∞。零点为0，极点为。（3）22X(n)还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为x(z)=

n???a?nu(?u?1)z?n=

n??1?(azn???1n)

?1n?1az?1(az)=(az)= == ?1?11?az1?azn??1n?1????1??X(n)是左边序列，它的Z变换的收敛域是半径围Rx+的圆的内部区域，这里

Rx+=

limn??x(?n)||=x(?(n?1))limn??|a?na?(n?1)|=|a|

x(n)还是逆因果序列，可以有|z|?0，故收敛域为0?|z|?|a|零点为0，极点为a。

(4)X(z)＝

n?-?9???1?-n???u(n)-u(n-10)?z ?2??1?-n1?(2z) ?? z=?121?(2z)??n?10n =?n?01X(n)是有限长序列，且它的Z变换只有负幂项，故收敛域为0<｜z｜≤∞.零点为0和（10

21阶），极点为。

2（5）X(z)??n????ncos(wn)u(n)z?0?ejw0n?e?jw0n??z

zn???1jw0?1n?1?jw0?1z) ＝?(ez)＋?(en?02n?02

111(?)jw0?1?jw0?1 ＝

21?ez1?ez1?z?1cosw0 ＝

1?2z?1cosw0?z?2x(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx?的圆的外部区域，这里

Rx?＝

limn??cos[w0(n?1)]x(n?1)|＝1 ||＝lim|cos(w0n)x(n)n??可以有x(n)还是因果序列，极点为ejw0|z|??，故收敛域为1?|z|??，零点为0和cosw0，

和

e?jw0。

2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图 (1) x(n)=a,0

(a?jw0)n|n|u(n)

(3) x(n)=Arcos(?0??)u(n),0

n1u(n) n!(5) x(n)=sin(?0??)u(n)

（1）X(z)=

n??????az?n=

?n?0nn???n?n?a?1?n?nz??azn?0?n?n

=

n??1?az??aznnax1??1?ax1?ax?1

z(1?a2) =

(1?az)(z?a)

X(n)是双边序列，可看成是由一个因果序列（收敛域a?z??）和一个因果序列（收敛域0?z?1）a相加组成，故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域a?z?1。零点为0和∞，极点a为a和

1。 a(2) X(z)?n????e?(??j??)u(n)z??e(??j?0)nz

nn???1 =

1?e??j??z?1

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx?的圆的外部区域，这里

x(n?1)Rx??lim?e?

x??x(n)X(n)还是右边序列，可以有

（3）

z??，故收敛域为e??z??。零点为0,极点为e??j?0。

X(z)??n?????Arncos(?on??)u(n)z?n?n?0?j(?on??)?j(?on??)e?eArnz?nn?j?Aej?o?1n(rez)??2n?0??j?o?1n(rez)?n?0?Aej??2Aej?1Ae?j?1??j?o?121?rez21?re?j?oz?1A?ej??(re?j(?o??)?rej(?o??))z?1?e?j???2?1?rz?1(ej?o?e?j?o)?r2z?2?cos??rz?1cos(?o??)?A??12?21?2rzcos??rzo?X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R3－的圆的

外部区域，这里

??????Arn?1cos[?0(n?1)??]x(n?1)RX??lim?limn??n??x(n)Arncos(?0??)?z

x(n)还是因果序列，可以有 z?? ，故收敛域为 r?z?? 。

rcos(?0??)j?0?j?0rere零点为0和 ，极点为 和

cos?

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