基于小波变换的图像处理方法研究(主要研究图像增强,包括源代码)(5)

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这n个非零系数值中只有第一个的系数值是常数“1”，其他n?1个都是分数阶微分阶次的函数。这n个非零系数值按顺序分别表示为:

a0?1,??a1??v,???v???v?1?,?a2??2???v???v?1???v?2? (4.4) ?,?a3?6??,??an????v?1??n!???v?n?1??另外，对于任意平方可积的能量型信号f(t)?L2(R),则其v阶分数阶微分的

Fourier变换为：

[9]

dvf(t)Df(t)?Dvf(t)?

dtvv ?Fourier变换

?^^^??v?Dvf?????(i?)f(?)?dv(?)f(?) (4.5) ??其中，v阶微分算子Dv?Dv是v阶微分乘子函数的乘性算子，其分数阶微分的滤波函数为

?????v?dv?????i???av????exp?i?v?????a????pv???,??v? (4.6) ??a???,?v??v???v????sgn???.?s??由式（4.6）知，当0?v?1时，在??1段，分数阶微分对于信号高频成分的加强幅度没有一阶微分大。因此，在??1段，图像信号的分数阶微分没有一阶微分或二阶微分对于图像高频边缘成分的加强幅度大。但在0???1甚低频段，分数阶微分不像一阶微分那样对信号的甚低频成分进行大幅的线性衰减，而是进行一种非线性衰减，其幅度衰减没有一阶微分那么大。在0???1甚低频段，随着微分阶次v的减小，分数阶微分对信号的甚低频成分的衰减幅度减小。当

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v?0时，则不进行任何衰减。

所以，对于图像灰度变化不大的平滑区域，若采用一阶微分和二阶微分去处理，那么其中灰度变化不大的纹理细节信息必然会遭到大幅的线性衰减，其结果约等于零。因此，基于整数阶微分的传统图像边缘强化算子不能地检测出平滑区域中的纹理细节信息。而经过二维分数阶微分处理后，图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息并没有遭到大幅的线性衰减，反而在一定程度上进行了非线性保留。所以对图像信号作为分数阶微分比作二维整数阶微分更有利于强化和提取图像平滑区域中的纹理细节信息。 4.2.2 分数阶微分滤波器的构造

由式（4.3）可得二维信号f?x,y?沿X和Y轴方向分数阶微分的差值表达为

[10]

：

vt??Df(x,y)x?f?x,y????v?f?x?1,y??G??v???v?1?f?x?2,y??2

???(?v?1)f(x?n,y)?? (4.7)

n!?(?v?n?1)

?Df(x,y)y?f?x,y????v?f?x,y?1??Gvt???v???v?1?f?x,y?2??

2 ???(?v?1)f(x?n,y)?? (4.8)

n!?(?v?n?1)图4.6表示分数阶微分图像增强掩膜算子a，该算子将式（4.7）和式(4.8)推广到图像的其余六个方向，从而得到一个基于八个方向（即x?,x?,y?,y?,左上对角，左下对角，右上对角，右下对角八个方向）的图像增强掩膜算子（表格空白部分用0填充）。该增强算子具有各项旋转不变性，增强算子a中的滤波系数如式4.11所示：

aD0?1??aD1??v???v???v?1??a? (4.9) D2?2?????v???v?1???v?2????v?n?1??aDn?n!?19

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aDm ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 aDm 0 ... 0 ad2 0 0 0 ... aDm ... 0 0 0 ad2 0 0 ad2 0 0 aD1 aD1 aD1 0 aDm ... ad2 aD1 aD0 aD1 ad2 ... aDm 0 0 0 0 0 0 aD1 aD1 aD1 0 ad2 0 ... 0 aDm 0 0 0 0 ad2 0 0 0 ad2 0 0 0 ... 0 ... 0 ... aDm aDm ... 0 图4.6 分数阶微分增强掩膜算子

图4.7为使用图4.6所示5?5对称分数阶微分掩膜进行图像增强的实例：

原图0.1阶0.3阶0.5阶0.7阶0.9阶

图4.7 分数阶微分增强图

由图4.7可知，经过不同阶微分的增强处理，对比可知，随着微分阶数的增加，图像的锐化效果明显增加，图像的边缘信息和局部细节被加强，图像的纹理细节更加清晰。当v?0.5时效果开始减弱，所以v?0.3,v?0.5时，图像的纹理和边缘部分增强效果最佳。接下来讨论把小波变换与之相结合的算法。 4.2.3 基于分数阶微分和小波分解的图像增强

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从分数阶微分和小波分解的特点出发，使用一种用于图像增强的方法，即首先使用小波分解方法分别多层次、多尺度分解图像，并重构出相应层次图像中的高低频成分，然后使用包含八个对称方向分数阶微分掩膜算子有针对性地对分离出的高频、低频及原始图像信号分别进行处理，把处理的结果进行合并、叠加，同时深度地保留图像平滑区域的低频轮廓特征和非线性地保留灰度变化较大的高频边缘特征，对灰度变化不明显区域图像纹理细节也得到增强。 其处理过程如下：

[11]

与八微分掩膜算子运算 得到8个数值 与八微分掩膜算子运算 取最大值 第n层低 频图像 原 始 图 像 n 层 二 维 离 散 小 波 分 解 图像n层二维分解结构系数 得到8个数值 叠 小波重第n层高 频水平方 向图像 与x方 向掩膜算子 构第n层高 频垂直 方向图 与y方 向掩膜算子 第n层高 频对角方 向图像 与对角方 向掩膜算子 得 到 8 个 数 值 取最大值 加增强后所得图像 图4.8 图像增强方法处理过程框图

其中，八个掩膜如图4.9(这8个掩膜，是取偏微分的前三项，并把与常数“1”所在的像素点距离为1个像素的像素点平分权值??v?,距离为2个像素的像

?v素点平分权值

2 取最大值 ?v2?所构造出来的)。

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?v 51 ?v 5 v2?vv2?vv2?v 666

??v 5v 5?v 5?v 5v 5v? 52v? 52v? 52v?vv?vv?v 666

(a) x正方向

1 ?

(b) x负方向

v? 51 v ? 5v? 5v?v 62vv2?v ? 56?v 5

v2?v 6

vv2?v ? 56vv2?v ? 56(d) y负方向

1 v? 5v? 5(c) y正方向

v2?v 6

?v 5v2?vv2?vv2?v 101010vv2?v? 310vv2?v ? 310v? 3 1 vv2?v ? 310vv2?v? 310?1

v 3v2?vv2?vv2?v 101010(f) 左下对角方向

(e) 左上对角方向

v?vv?vv?v 101010v? 31 222v? 3v? 3v2?v 10v?v 102 vv2?v? 1 310

vvv2?v? ? 3310

v2?vv2?vv2?v 101010(h) 右下对角方向

(g) 右上对角方向

图4.9 八方向掩膜算子

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