2015年天津河北区高中三年级第一学期期末数学试卷-A4(2)

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1．（5分）B 2．（5分）A 3．（5分）C 4．（5分）A 5．（5分）B 6．（5分）C 7．（5分）A 8．（5分）D 9．（5分）1．24 10．（5分）1．55

11．（5分）1．

12．（5分）1．

13．（5分）1．

14．（5分）1．

15．（13分）解：∵α为第二象限角，sinα=，∴cosα=﹣，tanα=﹣，tan2α=﹣，

又∵β为第一象限角，cosβ=，∴sinβ=，tanβ=，

∴tan（2α﹣β）=

16．（13分）解：（1）

所以

答案 第1页，共6页

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（2）因为，所以所以，

所以在闭区间上的最大值为1，最小值为。

17．（13分）（Ⅰ）证明：因为BD2+BC2=CD2， ∴BC⊥BD．

又∵PD⊥平面ABCD， ∴BC⊥PD， ∵BD∩PD=D， ∴BC⊥平面PBD．

（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．

因为PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，．

在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．

又BD=2，∴AB=1，．

又∵AB∥CD，∴AB∥MQ，AB=MQ．

，

∴四边形ABQM为平行四边形， ∴AM∥BQ．

∵AM?平面PBC，BQ?平面PBC，

答案 第2页，共6页

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∴直线AM∥平面PBC．

（Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为．证明如下：

∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．

∴．

设 t，0）．

，其中N（0，

∴，．

要使AM与BN所成角的余弦值为，则有 ，

∴，解得t=0或2，均适合N（0，t，0）．

故点N位于D点处，此时CN=4；或CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为．

18．（13分）解：（1）设数列的公差，由题得

解得

所以

（2）由（1）得，

答案 第3页，共6页

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19．（14分）解：（Ⅰ）∵椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A（0，1），B（0，﹣1），

∴设椭圆G的方程为：

由e=，得

解得a2=2

∴椭圆的标准方程为

（Ⅱ）以MN为直径的圆是不过点A．理由如下： ∵C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点， ∴设C（x1，y1），且x1≠0，则D（﹣x1，y1）．

∵A（0，1），B（0，﹣1），∴直线AC的方程为y=

令y=0，得，∴M（）．

同理直线BD的方程为y=，令y=0，解得N（）．

，，

∴=，

由C（x1，y1）在椭圆G：

上，∴，

答案 第4页，共6页

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