推理与证明（优生培训）(4)

10．(2009年高考江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为

1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

ex－e－xex＋e－x

11．在技术工程上，常用到双曲线正弦函数shx＝和双曲线余弦函数chx＝，22

而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有类似的性质，比如关于正、余弦函数有sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny成立，而关于双曲线正、余弦函数满足sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy.请你运用类比的思想，写出关于双曲线正弦、双曲线余弦很熟的一个新关系式 ．

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12．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平面的情

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形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________．

13．集合{1,2,3，?，n}(n≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为Tn，如：

1

T3＝1×2＋1×3＋2×3＝[62－(12＋22＋32)]＝11，

2

1

T4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝[102－(12＋22＋32＋42)]＝35，

21

T5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋?＋4×5＝[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.

2

则T7＝________.(写出计算结果)

14．已知数列{an}，ai∈{－1,0,1}(i＝1,2,3，?，2011)，若a1＋a2＋?＋a2011＝11，且

(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋?＋(a2011＋1)2＝2088，则a1，a2，?，a2011中是1的个数为________．

a

15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除b

数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：

①整数集是数域； ②若有理数集Q?M，则数集M必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 班级 242 姓名 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

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