高二数学基础题综合训练（3）
一、选择题
1．用反证法证明命题：“m、n∈N，mn可被3整除，那么m、n中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为( ) A．m、n都能被3整除 B．m、n都不能被3整除 C．m、n不都能被3整除 D．m不能被3整除
【解析】 用反证法证明命题应先否定结论，故选B.
1213214321
2．已知数列：，，，，，，，，，，?，依它的前10项的规律，这个数列的第
11212312342011项a2011满足( )
11
A．010
1010
121321
【解析】 这个数列是按如下规则分组：第一组：；第二组：，；第三组：，，；?；112123nn－1n－2n－r＋11n第n组：，，，?，，?，.由不等式
123rnn得n≤62，且当n＝62时，n＋12
n＋12
<2011，即n(n＋1)<4022，
＝1953,2011－1953＝58，即a2011是上述分组中的第63
63－58＋161
组的第58个数，即a2011＝＝，故0
3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图11－1的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是( )
A．4n＋2 B．4n－2 C．2n＋4 D．3n＋3
【解析】 观察可知除第一个以外，每增加一个黑色地面砖，相应的白地面砖就增加四个，
因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．或由图可知，当n＝1时，a1＝6，当n＝2时，a2＝10，当n＝3，a3＝14，由此推测，第n个图案中有白色地面砖的块数是：an＝4n＋2.
4．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2011，则i
与j的和为( )
1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 24 26
?
A．105 B．106 C．107 D．108
【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列，偶数行有偶数列，2011＝2×1006－1，
所以2011为第1006个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2011在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2011＝1923＋2(j－1)，所以j＝45，所以i＋j＝108.
5．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）
A.b*(b*b)＝b B.(a*b)*a＝a C.[a*(b*a)]*(a*b)＝a D.(a*b)*[b*(a*b)]＝b 答案：B
6．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2011
＝( )
A.1 B．2 C．4 D．5 [解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，?，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2011＝x3＝4，故应选C.
7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 [解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
a2＋b2＋c2
∴ab＋ac＋bc＝－≤0.
2
解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排
除A、B、C，选D.
8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间[1，a](a>2)上单调递增且f(x)>0，则以下不等式不一定成立的是( )
x f(x) 1 4 2 1 3 3 4 5 5 2 a＋1?1－3a?1－3a?
A.f(a)>f(0) B.f?>f(a) C.f?>f(－a) D.f?>f(－2)
?2??1＋a??1＋a?解析：∵f(x)是定义的R上的奇函数，∴f(0)＝0，又由已知a>2，∴f(a)>f(1)>0＝f(0)，
①成立；
∵
1＋a
>a，∴②成立； 2
∵a>2，∴1－3a<0，又f(x)为奇函数，
1－3a?3a－1?3a－1∴f?＝－f?，f(－a)＝－f(a)，且>1，
?1＋a??1＋a?1＋a
?3a－1?
3a－1?3a－1a－3
对于④，有f?
?1＋a?1＋a1＋a∴
a－3
<0未必成立． 答案：D 1＋a
2
二、填空题
9．(2009年高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12
成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，
T16
成等比数列． T12
T8T12
解析：根据类比原理知该两空顺次应填，. T4T8
10．(2009年高考江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为
1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
1S1h1
V13S1h1111
解析：＝＝·＝×＝. V21S2h2428
S2h23
ex－e－xex＋e－x
11．在技术工程上，常用到双曲线正弦函数shx＝和双曲线余弦函数chx＝，22
而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有类似的性质，比如关于正、余弦函数有sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny成立，而关于双曲线正、余弦函数满足sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy.请你运用类比的思想，写出关于双曲线正弦、双曲线余弦很熟的一个新关系式 ．
解析：shx类比sinx，chx类比cosx. sh(x－y)＝shxchy－chxshy或ch(x－y)＝chxchy＋shxshy或sh2x＝2shxchx(写对一个即可)
→→→→
12．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平面的情
→→→
形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________． 【解析】 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积，→→→→
故得出结果 VO－BCD·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0
13．集合{1,2,3，?，n}(n≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为Tn，如：
12222
T3＝1×2＋1×3＋2×3＝[6－(1＋2＋3)]＝11，
2
1
T4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝[102－(12＋22＋32＋42)]＝35，
21
T5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋?＋4×5＝[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.
2则T7＝________.(写出计算结果)
1
【解析】 T7＝[(1＋2＋?＋7)2－(12＋22＋?＋72)]＝322.
2
14．已知数列{an}，ai∈{－1,0,1}(i＝1,2,3，?，2011)，若a1＋a2＋?＋a2011＝11，且
(a1＋1)＋(a2＋1)＋?＋(a2011＋1)＝2088，则a1，a2，?，a2011中是1的个数为________． 【解析】 设1的个数有x个，根据a1＋a2＋?＋a2011＝11，则－1的个数为x－11个，0的
个数为2011－2x＋11＝2022－2x.由(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋?＋(a2011＋1)2＝2088，得4x＋2022－2x＝2088，解得x＝33.
a15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除b数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域； ②若有理数集Q?M，则数集M必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) a
[答案] ③④ [解析] ①整数a＝2，b＝4，不是整数；
b
②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋b?M；
③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，?，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．
④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．
2
2
2
高二数学基础题综合训练（3）
一、选择题
1．用反证法证明命题：“m、n∈N，mn可被3整除，那么m、n中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为( )
A．m、n都能被3整除 B．m、n都不能被3整除 C．m、n不都能被3整除 D．m不能被3整除
1213214321
2．已知数列：，，，，，，，，，，?，依它的前10项的规律，这个数列的第
1121231234
2011项a2011满足( )
11
A．010
1010
3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图11－1的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是( )
A．4n＋2 B．4n－2 C．2n＋4 D．3n＋3
4．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2011，则i与j的和为( )
A．105 B．106 C．107 D．108
1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 24 26
?
5．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）
A.b*(b*b)＝b B.(a*b)*a＝a C.[a*(b*a)]*(a*b)＝a D.(a*b)*[b*(a*b)]＝b
6．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2011＝( ) x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 A.1 B．2 C．4 D．5
7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间[1，a](a>2)上单调递增且f(x)>0，则以下不等式不一定成立的是( )
?a＋1?>f(a) C.f?1－3a?>f(－a) D.f?1－3a?>f(－2)
A.f(a)>f(0) B.f
?2??1＋a??1＋a?
二、填空题
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上
T16
结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
T12
10．(2009年高考江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为
1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
ex－e－xex＋e－x
11．在技术工程上，常用到双曲线正弦函数shx＝和双曲线余弦函数chx＝，22
而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有类似的性质，比如关于正、余弦函数有sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny成立，而关于双曲线正、余弦函数满足sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy.请你运用类比的思想，写出关于双曲线正弦、双曲线余弦很熟的一个新关系式 ．
→→→→
12．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平面的情
→→→
形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________．
13．集合{1,2,3，?，n}(n≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为Tn，如：
1
T3＝1×2＋1×3＋2×3＝[62－(12＋22＋32)]＝11，
2
1
T4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝[102－(12＋22＋32＋42)]＝35，
21
T5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋?＋4×5＝[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.
2
则T7＝________.(写出计算结果)
14．已知数列{an}，ai∈{－1,0,1}(i＝1,2,3，?，2011)，若a1＋a2＋?＋a2011＝11，且
(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋?＋(a2011＋1)2＝2088，则a1，a2，?，a2011中是1的个数为________．
a
15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除b
数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域； ②若有理数集Q?M，则数集M必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 班级 242 姓名 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
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