数字图像中值滤波器的研究(3)

2.3数字图像的处理方法

在数字图象处理中，我们可以对图象进行不同的处理来实现自己的要求，其可以分为：空间域图像增强、频域图像增强、图像复原、彩色图像处理、小波变换和多分辨率处理、图像压缩、形态学图像处理、图像分割、目标识别等。而其中的图像增强就是使图像的噪声得到有效的滤出，效果更加清晰，细节性更好。

2.4数字图像的矩阵表示

在计算机中，按照颜色和灰度的多少可以将图像分为二值图形、灰度图像、索引图像和真彩色RGB图像四种基本类型。考虑到本文只采用了灰度图像进行滤波处理，这里仅介绍灰度图像。

灰度图像矩阵元素的取值范围通常为[0，255]，因此其数据类型一般为8位无符号整数(uint8)，这就是人们经常提到的256灰度图像。\表示纯黑色，\表示纯白色，中间的数字从小到大表示由黑到白的过渡色。在一些地方，灰度图像也可以用双精度数据类型(double)表示，象素的值域为[0，1]，0代表黑色，1代表白色，0到1之间的小数表示不同的灰度等级[7]。

2.5数字图像处理中的常用噪声模型

在一幅图像中,高斯噪声的产生源于电子电路噪声和由低照明度或高温带来的传感器噪声，脉冲噪声主要表现在成像中的短暂停留中(例如错误的开关操作)，所以在实践中，这两种噪声比较常见，也因为这样，在数字图像中常常采用这两种噪声给图像做加噪处理。本文中也只采用高斯噪声和椒盐噪声给图像做加噪处理。

高斯随机变量z的概率密度函数(PDF)由下式给出：

p(z)?12????e?(z??)/2?22????? （2-1）

其中，z表示灰度值，μ表示z的平均值或期望值，δ表示z的标准差。标准差的平方，称为z的方差。当z服从式(2-1)的分布时，其值有70%落在[(δ-μ)，(δ+μ)]范围内，且有95%落在[(δ-2μ)，(δ+2μ)]范围内[8]。 (双极)脉冲噪声的PDF可由下式给出：

?pa z?a?p(z)??pb z?b??0 其它 （2-2）

6 如果b>a，灰度值b在图像中将显示为一个亮点，相反，a的值将显示为一个暗点。若Pa或Pb为零，则脉冲噪声称为单极脉冲噪声。如果Pa和Pb均不可能为零，尤其当它们近似相等时，脉冲噪声值将类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒。由于这个原因，双极脉冲噪声也称为椒盐噪声。

在本文中，将交替使用脉冲噪声和椒盐噪声这两个术语。通常假设a，b是饱和值，从某种意义上看，在数字化图像中，它们等于所允许的最大值和最小值。对于一个8位图像，这意味着a=0，(黑)，b=255(白)。

7 3 中值滤波的基本理论

3.1中值滤波理论

中值滤波是一种能有效抑制图像噪声而提高信噪比的非线性滤波技术。它是一种邻域运算，类似于卷积，但计算的不是加权求和，而是把邻域中的像素按灰度级进行排序，然后选择该组的中间值作为输出像素值。在数字图像处理中，对于N×N(N为奇数)中值滤波器，可以滤除小于或等于邻域中(2N-1)/2个像素的噪声并且较好地保持图像的边缘 。对图像进行中值滤波处理首先要确定一个模板N×N ，一般选取3×3或5×5 。中间位置的图像数据的表达式为f(x,y)=med{f(x±k,y±l)，(k≤(N-1)/2,l≤(N-1)/2)}要得到模板中数据的中间值[9]，首先要将数据按大小排序， 然后根据有序的数字序列来找中间值。中值滤波排序的过程有很多的算法, 如冒泡排序、二分排序等。

3.2一维中值滤波原理

设有一个一维序列f1,f2,?,fi?。对此序列进行中值滤波，就是用有奇数点的滑动窗口，设滤波窗口长度(进入窗口的点数)为L=2k+1，从输入序列中抽出L个数(fi-k,?,fi,?fi+k)，再将这L个数按其数值大小排列，取其序号为中心点的那个数作为滤波输出。 用数学公式表示为：

yi?median[fi?k,?,fi,??fi?k] i?z （3-1）

式中median[]表示取数列的中间值，Z表示所有自然数的集合。例如:有一个序列为{0，1，3，0，5)， 滤波窗口长度取5，重新排序后为{0，0，1，3，5}，则yi=median[0，1，3，0，5]=1。

对于一个有限长序列fi,f2,?,fi,?fn,，若滤波窗口长度为L=2k+1，为了使输出信号长度与输入信号长度同样长，在滤彼前要在输入信号两边分别扩展k个信号[10]，扩展的方法一般有两种：

(1)每边扩展的k个信号值都与各自两端的信号值相同，如式(3-2)所示，对于上面的序列和滤波窗口，其扩展后的序列为{0，0，0，1，3，0，5，5，5}。

f?k?1?f?k?

2???f0?f1fN?1?fN?2???fN?k?fN??? （3-2）

(2)每边扩展的k个信号值都与各自两边的信号值相对应，如式(3-3)所示，对

8 于上面的序列和滤波窗口[11]，其扩展后的序列为{1,0,0,1,3,0,5,5,0}。

f1?i?fi i?[1,k]??fN?1?fN?1?i i?[1,k]? （3-3）

本文均采用第(2)种扩展方法。

图3.1是对离散阶跃信号(a)、脉冲信号(b).斜坡信号(c)以及三角形信号(d)进行中值滤波(L=3)的示例，从此例可以看出，中值滤波不影响阶跃信号和斜坡信号；周期小于L/2(滤波窗口长度之半)的脉冲信号受到抑制，三角形信号的顶部变平。

图3 .1 一 维 序 列 中 值 滤 波 示 例

3.3二维中值滤波原理

设有一个二维图像{人，}，二维中值滤波的结果为：

yi,j?median[fi,j] （3-4）

式(3-4)中，A是滤波窗口。

二维中值滤波器的滤波窗口形状和尺寸对滤波效果都有影响，不同的图像内容和不同的应用要求，往往采用不同的滤波窗口形状和尺寸，图3.2中展示了尺寸为5X5的常见的二维中值滤波窗口形状。

9

图3.2尺寸为5X5的常见的二维中值滤波窗口形状

3.4中值滤波的主要特性

3.4.1中值滤波的主要特性

中值滤波器的主要特性有:滤除噪声的性能、对某些信号的不变性、中值滤波的频谱特性[12]。 (1) 滤除噪声的性能：中值滤波是非线性运算，因此对随机性质的噪声输入，数学分析是相当复杂的。由大量实验可得，对于零均值正态分布的噪声输入，中值滤波输出与输入噪声的分布密度有关，输出噪声方差与输入噪声密度函数的平方成反比。对随机噪声的抑制能力，中值滤波比均值滤波要差些。但对于脉冲干扰来讲，特别是脉冲宽度小于滤波窗口长度之半，相距较远的窄脉冲，中值滤波是很有效的。

(2) 对某些信号的不变性：对于某些特定的输入信号，中值滤波输出信号保持与输入信号相同，比如图3.1中的(a)和(c)，所以相对于一般的线性滤波器(比如均值滤波)，中值滤波能更好的保护图像细节。

(3) 中值滤波的频谱特性：由于中值滤波是非线性运算，在输入与输出之间的频率上不存在一一对应的关系，故不能用一般线性滤波器频率特性分析方法[13]。采用总体实验观察法，经大量实验表明，中值滤波器的频率响应与输入信号的频谱有关，呈现不规则波动不大的曲线，如图3.3所示。从图3.3可以看出，中值滤波幅谱特性起伏不大，可以认为信号经中值滤波后，频谱基本不变。

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