数学分析 - 竞赛辅导讲义(2)

??2?xsinx1?cosx2dx????(t??)sint1?cost20dt 代入（1）得

原式 =??=??0?sint1?cost22dt??0??1?cost2dcost??arctancost|?0

?2。

2?0练习5 证明：?2sin(x)dx?0。

2分析：令x?u。

练习6 证明 |?220042003sintdt|?212003。

分析：令x?u，再利用积分第二中值定理。

定理： 设f(x)在[a,b]上Riemann可积，则

?(?,?)?[a,b](a?????b)，?x0?(?,?)使f(x)在x?x0处连续。

证明：作分划?:??x0?x1?x0?f(x) 在[a,b]上Riemann可积，取?1????n???xn??。因?0，存在n1?4，

???2使

n1?(Mii?1(1)?mi(1))???n1????2

（其中Mi(1)?义。）

sup{f(x)},mix?[xi?1,xi](1)?inf{f(x)}，以下类似定

x?[xi?1,xi] 6

n1所以

Mi(1)?(Mii?1(1)(1)?mi(1))?n12?n1?2，因此至少有三个i，使

(1)?mi?1。取0?i1?n1,使Mi?1,11?mi(1)1?1。作区间

[?1,?1]?[xi1xi]，则f(x)在[?1,?1]上Riemann可积。取

?2??1??122?0，存在n2?4，使

n1?(Mii?1n2(2)?mi?(2))?1??1n2??1??14

于是

Mi?(Mii?1(2)?mi(2))?n24n2?22，因此至少有三个i，使

(2)?mi(2)?12。

(2)2取0?i2?n2,使Mi套

?mi(2)2?12。如此继续可以得到一个闭区间

[?,?]?[?1,?1]??[?n,?n]??

使得（1）?n??n?Mi(n)???4n；（2）f(x)在[?n,?n]上的上下确界满足

??mi(n)?1n。由闭区间套定理知?[?n,?n]?{x0}。下证f(x)n?1在x?x0处连续。

事实上，???0,?n0?[]?1,有

?0011n0??。而由上述构造过程知，

???0,有(x0??,x0??)?[?n,?n]，

此时

f(x)?f(x0)?Mi(n0)?mi(n0)?1n0??

7

故f(x)在x?x0处连续。

问题6 设函数f(x)在[a,b]上Riemann可积，且?f(x)dx?0。

ab试证明：存在闭区间[?,?]?[a,b]，使得当x?[?,?]时，f(x)?0。

[分析] 只需在[a,b]区间上找一个连续点x0，使得f(x0)?0。利用

定积分的定义，分点取连续点（上述定理保证存在连续点）即可。

练习7 若f(x)可积，则

?f(x)dx?0?f(x)在连续点处恒等于

ab20。

证 必要性 若?x0,f(x)在x0连续，但f(x0)?0，则

?x0?(?,??)a(b,有?)x?(?,?),f(x)?0，于是

?a充分性

bf(x)dx?2???f(x)dx?0，矛盾。

22?abf(x)dx?lim2n?n??f(?i)b?an。 ?0（?i取连续点）

i?1五、 其它

问题7 从已知?ABC的内部的点P向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点P的位置。

解：设P到AB,AC,BC的距离分别为x,y,z。则

cx?by?az?2S，

其中S为?ABC的面积。

xyz?1abccx?by?az?1abc(cx?by?az3)?31abc(2S3)，

3等号当且紧当cx?by?az时成立，且可达到。

练习8 证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三顶点距离之和为最小。

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练习9 求使得下列不等式对所有的自然数n都成立的最大的数

?和最小的数?：(1?1n)n???e?(1?1n)n?? 。（??1ln2?1,??12）

问题10 设有函数列

2221515f1(x)?x?75,f2(xx)?x?fn(x),……,)?x?f1(x),……,fn(?122求方程f2004(x)?2x的一切实数解。

解 （1）首先验证x?5是方程的解。 （2）当x?5时，用归纳法证明fn(x)?2x。 （3）当x?5时，用归纳法证明fn(x)?2x。 问题11 设f1(x)?fn0(x)?xf(x)，fn(x)?fn?1(f(x))，x??，若存在n0，使得

，则f是?1到f(?1)的一一映射。

x2使得f(x1)?f(x2)。

证 只需证f是单射。假设f不是单射，则?x1?因此?n1，n而fn1?n1?n22???使得fn1(x1)?x1，fn2(x2)?x2。于是fn1?1(x1)?fn2?1(x2)，从

(x1)?fn2?n1?n2(x2)。所以

，fn2?n1?n2fn1?n1?n2(x1)?fn1(fn1?n2(x1))?fn1(x1)(x2)?fn2(fn1?n2(x2))?fn2(x2)。

于是x1?fn1(x1)?fn2(x2)?x2，这与x1?x2矛盾。故f是?1到f(?1)的映射。

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