数学分析 - 竞赛辅导讲义

高等数学（数学分析）竞赛辅导讲稿

一、 函数

函数，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。

问题1 试证不存在?1上的连续函数f，使得f在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。

证 若不然，则存在a,b??，使得f(a)?[a,b]上的最大值和最小值分别为Mf(b)?L且a?b。设f(x)在

和m。若f在[a,b]上取常值，则f在

?L无理数集上不是一一映射。于是Ma?c?b或m?L。不妨设L?M?f(c)，

，则由f(?)可数、开区间(L,M)不可数知(L,M)?f(?)??。

任取某个h?(L,M)?f(?)，分别在?a,c?和?c,b?上应用介值性定理

必有s和t使得a?s?c?t?b且f(s)?t都是无理数，这与f因h?(f(t)?h。LM,)f?()?，故s和

在无理数集上是一一映射矛盾。

问题2 若一族开区间{I?|???}覆盖了闭区间[0,1]，则必存在一个正数??0，使得[0,1]中的任意两点x1,x2满足x1?x2??时，

x1,x2必属于某个开区间I??{I?}。

证 不妨设每个开区间都是有限区间。

（1） 作函数f:[0,1]??，x?sup{d(x,I?C)|???}。 （2） f连续，且f(x)?0。而闭区间上的连续函数一定有最小

值，令??12（连续性的证明： min{f(x)|x?[0,1]}。

CC?x,y?[0,1]，d(x,I?)?inf{d(x,a)|a?I?}?

1

inf{d(x,y)?d(y,a)|a?I?}?d(x,y)?inf{d(y,a)|a?I?}= d(x,y)?d(y,I?)，取上确界得

sup{d(x,I?)|???}?d(x,y)?sup{d(y,I?)|???}

CCCCC即f(x)?f(y)?d(x,y)，同理f(y)?f(x)?d(x,y)，于是

f(x)?f(y)?d(x,y)，故???0,取???，当x?y??时，

） f(x)?f(y)??，所以f(x)是[0,1]上的连续函数。

（3）因此存在I?，使得d(x,I?C)??，?x?[0,1]，0???f(x)，从而(x??,x??)?I?。

（4）而满足x1?x2??的点x1,x2必在某个(x??,x??)中(事实上取x?x1?x22即可)，从而命题得证。

练习1 设f(x)在[0,1]上可导，且f(0)?0,f(1)?1。证明：对任意正数a、b，必存在(0,1)内的两个不同的数?与?，使

af?(?)?bf?(?)?a?b。

证 设0?a?b?1，令C0=

aa?b，则0< C0<1。因

f(0)?0,f(1)?1且f(x)在[0, 1]上连续，由介值性定理存在c?(0,1)，

使得f(c)= C0。现在在[0,c]上利用拉格朗日中值定理，存在??(0,c)，有

f?(?)?f(c)?f(0)c?0?c0c?0?a(a?b)c。

同理在[c,1]上利用拉格朗日中值定理存在??(c,1)，有

2

f?(?)?f(1)?f(c)1?c?1?c01?c?b(a?b)(1?c)。

于是

af?(?)?bf?(?)?(a?b)c?(a?b)(1?c)?a?b。

命题得证。 二、 极限

数列和函数极限的计算，以及有关问题的讨论，无穷阶的比较，实数完备性理论及其应用。

问题3 设a1?c(c?0),an?1?c?an,n?1,2,?.求liman。

n??证 首先证明{an}是递增数列.

a2?c?a1?c?c?c?a1,假设ak?1?ak成立，则

ak?2?c?ak?1?c?ak?ak?1, 因此{an}是递增数列.

再证明{an}是有界数列. c?an?1?c.

an?c显然成立. a1?c?1?2c?c2?1?c成立.

设ak?1?c成立，则

ak?1?c?ak?c?1?c?1?2c?c2?1?c,

因此，c?an?1?c成立.

iman,在根据单调有界定理知知{an}收敛，设a?ln??an?1?c?an1?2两边取极限，得a?c?a,解得，但由于an?a1?c2a?1?4c?12或

a?4c?12, 因此a?0, 从而

3

liman?n??1?4c?12.

练习2 设a1?2,an?1?2an,n?1,2,?，求liman。

n??证 显然an?0首先证明，an?2.

a1?2?2, 若假设an?2, 则an?1?2an?4?2.根据归

纳法可得an?2成立.

又由 an?1?an?2an?an?an(2?an)2an?an?0, 即{an}是递增数

an, 在列且有上界, 根据单调有界定理知{an}收敛，设a?limn??an?1?2an两边取极限，得aan?a1?222?2a,解得a?0或a?2，但由于

, 因此a?12?2an?2. , 从而limn??练习3 设Sn?1?13???11n?lnn，求证：limSn 存在。

n??[分析] 两个事实：1)(1?)n 单调递增?e；

n2)(1?)n?1 单调递减?e。

n1 有不等式

证 Sn?Sn?1?ln11n?1n?1n?11n?11?ln(1?1n1)?1n 。

?0，故{Sn}单

=ln(1?)?n1n?11调下降，且Sn?ln(1?)?ln(1?)???ln(1?)?lnn=

2nln123n?1???lnn?ln(1?)?0。 12nn? limSn 存在。

n?? 4

注 1?12?13???1n?lnn?C?o(1)，其中C是欧拉常数。

三、 积分中值定理

函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质（单调性，凹凸性等）以及导数的应用（极值、最大值和最小值等）。

问题4 设P?0是常数，求证limn???n?pn11?x2dx?0。

解 由积分第一中值定理知???(n,n?p)，有

?故原式?lim11??2n?pn11?x2dx?11??2?P

????P?0。

练习4 lim?n??n?pnsinxxdx。

解 由积分第一中值定理知???(n,n?p)，有

?故原式=limsin????n?pnsinxxdx?sin???p

??p=0。

四、 积分

不定积分和定积分的计算，定积分的性质以及变上，下限的积分，定积分的应用和广义积分。

问题5 求积分?解

2?xsinx1?cosx20dx。

2??02?xsinx1?cosx2dx??0?xsinx1?cosx5

2dx???xsinx1?cosx2dx （1）

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