2016年辽宁省重点中学协作体高三第一次教学质量检测 数学（理科(2)

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O1和⊙O2 公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点。

（Ⅰ）求证：∽；

（Ⅱ）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求

的值。

23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标xoy系中，直线l经过点P（一1，0），其倾斜角为

，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，

．

与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为（Ⅰ）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求

的取值范围；

（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．

24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

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2016年辽宁省重点中学协作体高三第一次教学质量检测

数学（理科）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1、B 2、C 3、D 4、B 5、C 6、B 7、B 8、B 9、D 10、D 11、A 12、D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13、①②④ 14、 15、 16、

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）

解：（I）∵，

由函数f（x）的最小正周期为3π，即∵

时，可得：

，解得，∴，∴

，

，

∴x=﹣π时，f（x）的最小值是﹣3，（II）由已知

又∵sinA≠0，∴（Ⅲ）由

得

，由正弦定理，有=

时，f（x）的最大值是1．

=

． ，∴

．

．

，

，又∵ a＜b＜c，∴

．∵

由知，∴18、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）作

由平面而又（Ⅱ） ∵

又由Ⅰ

平面

于平面

，故，故，面平面

平面面 ∴ ，连

，知：

平面又四边形，而 ∴

为正方形 ∴平面面

∴

.

∴ ＝

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即（Ⅲ）设平面

∵

时有最大值为的法向量为,

，

．

，

∴

则 即取 则 ∴

∵面的一个法向量为 ∴<>

∵所求二面角19、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）如下表：

男 女 总计 的平面角为钝角 ∴此二面角的余弦值为－.

会俄语 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30 假设：是否会俄语与性别无关．由已知数据可求得

所以在犯错的概率不超过0．10的前提下不能判断会俄语与性别有关；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）会俄语的人数的取值分别为0,1,2．其概率分别为

,

所以的分布列为：

P 0 1 2

．

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20、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设动点为，依据题意，有 ，化简得

因此，动点P所在曲线C的方程是：（Ⅱ）点F在以MN为直径的圆的外部．

理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：所示．

，如图

联立方程组，可化为，

则点又

、

的坐标满足，可得点

、

． ．

因于是，

，，则=．

为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．

（Ⅲ）依据（Ⅱ）可算出，，

则 ，

∴

，即存在实数

．

使得结论成立．

（Ⅳ）正确，证明略 21、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）

在区间 的值域为

上单调递增，在区间

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上单调递减,且

（Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得

在

，原问题等价于：对任意的不可能是单调函数

在上总有

两个不同的实根，故

当当

时, 时,

,

,.s 在区间

在区间上递减，不合题意

上单调递增，不合题意

当时, ,在区间上单调递减，不合题意

当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，

由上可得，此时必有的最小值小于等于0

而由

综上，满足条件的不存在。 （Ⅲ）设函数

具备性质“

可得，则

”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，

则，

而在点处的切线斜率为，

故有，即；

令，则上式化为，

令，则由可得在上单调递增，

故，即方程无解，所以函数不具备性质“”.

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22．（本小题满分10分）

（Ⅰ）证明：∵AD是两圆的公切线， ∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH, ∴DE×DG= DF×DH, ∴

，

又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG。 （Ⅱ）连结O1 A，O2A，∵AD是两圆的公切线， ∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，∴O1O2共线，

∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC， ∴DG⊥DH，∴AD2= O1A×O2A，

设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x， ∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x） ∴DE=6x，DF=4x，∴23、（本小题满分10分） 24、（本小题满分10分）

。

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