（2014年）第7讲、导数应用(2)存在，不等式，根的个数（教师版）(4)

由此得??8?8a?2b?a?0,?a??2, 解得??12?8a?b?1,?b?5.

所以a??2,b?5，切线l的方程为x?y?2?0

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?x3?4x2?5x?2，所以f(x)?g(x)?x3?3x2?2x.

依题意，方程x(x2?3x?2?m)?0有三个互不相同的实数0,x1,x2， 故x1,x2是方程x2?3x?2?m?0的两相异的实根。 所以??9?4(2?m)?0,即m??.

又对任意的x?[x1,x2],f(x)?g(x)?m(x?1)成立，

特别地，取x?x1时，f(x1)?g(x1)?mx1??m成立，得m?0. 由韦达定理，可得x1?x2?3?0,x1x2?2?m?0,故0?x1?x2. 对任意的x?[x1,x2],有x-x2?0,x?x1?0,x?0

则f(x)?g(x)?mx?x(x?x1)(x?x2)?0,又f(x1)?g(x1)?mx1?0 所以函数f(x)?g(x)?mx在x?[x1,x2]的最大值为0。

于是当m?0时，对任意的x?[x1,x2],f(x)?g(x)?m(x?1)恒成立， 综上，m的取值范围是(?

141,0). 412良【例13】设函数f(x)?clnx?x?bx(b,c?R,c?0)，且x?1为f(x)的极值点． 2(Ⅰ) 若x?1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间（用c表示）； (Ⅱ)若f(x)?0恰有两解，求实数c的取值范围． cx2?bx?c解： f'(x)??x?b?，又f'(1)?0 xx所以f'(x)?(x?1)(x?c)且c?1，b?c?1?0 …………4分 x（I）因为x?1为f(x)的极大值点，所以c?1 当0?x?1时，f'(x)?0；当1?x?c时，f'(x)?0；当x?c时，f'(x)?0 所以f(x)的递增区间为(0,1)，(c,??)；递减区间为(1,c)．…………7分

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（II）①若c?0，则f(x)在(0,1)上递减，在(1,??)上递增 11f(x)?0恰有两解，则f(1)?0，即?b?0，所以??c?0； 22112②若0?c?1，则f极大(x)?f(c)?clnc?c?bc，f极小(x)?f(1)??b 22c2c2?c(?1?c)?clnc?c??0 因为b??1?c，则f极大(x)?clnc?221f极小(x)???c，从而2f(x?)只0有一解；③若c?1，则c2c21f极小(x)?clnc??c(?1?c)?clnc?c??0,f极大(x)???c, 则f(x)?0只222有一解.综上，使f(x)?0恰有两解的c的范围为?

1?c?0．…………15分 2 17

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