（2014年）第7讲、导数应用(2)存在，不等式，根的个数（教师版）(3)

x2?1?2lnx2?0(x2?1)(*) x21t再由（I）知，函数h(t)?t??2lnt在(0,??)上单调递增，而x2?1，所以

x2?11?2lnx2?1??2ln1?0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a. x21lnx，其中e是自然常数，a?R. x（BC）【例8】已知f(x)?ax?lnx,x?(0,e],g(x)?（Ⅰ）当a?1时, 研究f(x)的单调性与极值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f(x)?g(x)?； 2 （Ⅲ）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）?f(x)?x?lnx，f?(x)?1?11x?1? ……1分 xx/∴当0?x?1时，f(x)?0，此时f(x)单调递减 当1?x?e时，f(x)?0，此时f(x)单调递增 …………3分 ∴f(x)的极小值为f(1)?1 ……4分 （Ⅱ）?f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e]上的最小值为1， ∴ f(x)?0，f(x)min?1……5分 /1lnx11?lnx??，h/(x)?， …………6分 x22x2当0?x?e时，h?(x)?0，h(x)在(0,e]上单调递增 ………7分 1111∴h(x)max?h(e)?????1?|f(x)|min ………9分 e2221∴在（1）的条件下，f(x)?g(x)?……………………………10分 2（Ⅲ）假设存在实数a，使f(x)?ax?lnx（x?(0,e]）有最小值3， 1ax?1f/(x)?a?? xx/① 当a?0时，x??0,e?，所以f(x)?0， 所以f(x)在(0,e]上单调递减， 4f(x)min?f(e)?ae?1?3，a?（舍去）， e所以，此时f(x)无最小值. ……12分 111②当0??e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增 aaa1f(x)min?f()?1?lna?3，a?e2，满足条件. ……14分 a令h(x)?g(x)? 11

③ 当1?e时，x??0,e?，所以f/(x)?0， a4所以f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min?f(e)?ae?1?3，a?（舍去）， e所以，此时f(x)无最小值. ……15分 2综上，存在实数a?e，使得当x?(0,e]时f(x)有最小值3 .……16 （BC）【例9】已知函数f(x)?x?alnx(a为实常数). (1)若a??2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值； (3)若存在x?[1,e]，使得f(x)?(a?2)x成立，求实数a的取值范围. 22(x2?1)?0， （1）当a??2时，f(x)?x?2lnx，当x?(1,??)，f?(x)?x2故函数f(x)在(1,??)上是增函数．…………………………………………………4分 2x2?a(x?0)，当x?[1,e]，2x2?a?[a?2,a?2e2]． （2）f?(x)?x若a??2，f?(x)在[1,e]上非负（仅当a??2，x=1时，f?(x)?0），故函数f(x)在[1,e]上是增函数，此时[f(x)]min?f(1)?1． ………………………………………………6分 若?2e2?a??2，当x??a?a时，f?(x)?0；当1?x?时，f?(x)?0，此时f(x) 22是减函数； 当?a?a?x?e时，f?(x)?0，此时f(x)是增函数．故[f(x)]min?f() 22?aaaln(?)?． 222若a??2e2，f?(x)在[1,e]上非正（仅当a??2e2，x=e时，f?(x)?0），故函数f(x)在[1,e]上是减函数，此时[f(x)]min?f(e)?a?e2．……………………………………8分 综上可知，当a??2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当?2e2?a??2时，f(x) 的最小值为aaa?a；当a??2e2时，f(x)的最小值为a?e2， ln(?)?，相应的x值为2222 12

相应的x值为e．……………………………………………………………………10分 （3）不等式f(x)?(a?2)x， 可化为a(x?lnx)?x2?2x． ∵x?[1,e], ∴lnx?1?x且等号不能同时取，所以lnx?x，即x?lnx?0， x2?2x因而a?（x?[1,e]）………………………………………………12分 x?lnx(x?1)(x?2?2lnx)x2?2x令g(x)?（x?[1,e]），又g?(x)?，…………………14分 2x?lnx(x?lnx)当x?[1,e]时，x?1?0,lnx?1，x?2?2lnx?0， 从而g?(x)?0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数， 故g(x)的最小值为g(1)??1，所以a的取值范围是[?1,??)． ………………………16分 题型三、导数与函数零点问题

3【例10】已知函数f(x) =x，g (x)=x+x。

求函数h (x)=f(x)-g (x)的零点个数，并说明理由；

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【例11】设函数f(x)?x?c(e=2.71828是自然对数的底数,c?R). 2xe(Ⅰ)求f(x)的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数. 解:(Ⅰ)f'(x)?(1?2x)e?2x, 由f'(x)?0,解得x?12, 当x?12时,f'(x)?0,f(x)单调递减 所以,函数f(x)的单调递增区间是(??,1),单调递减区间是(122,??),

最大值为f(1)?122e?c (Ⅱ)令g(x)?lnx?f(x)?lnx?xe2x?c x?(0,??) (1)当x?(1,??)时,lnx?0,则g(x)?lnx?xe2x?c, 2x所以,g'(x)?e?2x(ex?2x?1) e2x因为2x?1?0,x?0 所以 g'(x)?0

因此g(x)在(1,??)上单调递增.

(2)当x?(0,1)时,当时,lnx?0,则g(x)??lnx?xe2x?c, x所以,g'(x)?e?2x(?e2x?2x?1)

因为e2x?(1,e2),e2x?1?x?0,又2x?1?1

?e2x所以?2x?1?0 所以 g'x(x)?0

因此g(x)在(0,1)上单调递减.

综合(1)(2)可知 当x?(0,??)时,g(x)?g(1)??e?2?c, 当g(1)??e?2?c?0,即c??e?2时,g(x)没有零点,

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故关于x的方程lnx?f(x)根的个数为0;

当g(1)??e?2?c?0,即c??e?2时,g(x)只有一个零点, 故关于x的方程lnx?f(x)根的个数为1; 当g(1)??e?2?c?0,即c??e?2时, ①当x?(1,??)时,由(Ⅰ)知

g(x)?lnx?x1?1?c?lnx?(e?c)?lnx?1?c e2x2要使g(x)?0,只需使lnx?1?c?0,即x?(e1?c,??); ②当x?(0,1)时,由(Ⅰ)知

g(x)??lnx?x1?1?c??lnx?(e?c)??lnx?1?c; 2xe2要使g(x)?0,只需使?lnx?1?c?0,即x?(0,e?1?c);

所以当c??e?2时,g(x)有两个零点,故关于x的方程lnx?f(x)根的个数为2; 综上所述:

当c??e?2时,关于x的方程lnx?f(x)根的个数为0; 当c??e?2时,关于x的方程lnx?f(x)根的个数为1; 当c??e?2时,关于x的方程lnx?f(x)根的个数为2.

()x?x?2ax?bx?a()?x?3x?2良【例12】设函数f，gx，其中x?R，a、b为

常数，已知曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 (I) 求a、b的值，并写出切线l的方程；

(II)若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1?x2，且对任意x?g()x?mx的x??x恒成立，求实数m的取值范围。 ()?g()x?m(x?1)1,x2?，fx解：（Ⅰ）f?(x)?3x?4ax?b,g?(x)?2x?3.

由于曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2，0）处有相同的切线， 故有f(2)?g(2)?0,f?(2)?g?(2)?1.

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