2017年山东省威海市中考数学试卷(解析版)(5)

DC方向运动至C点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设

DP=x，△AD1P

与原纸片重叠部分的面积为

y．

（1）当x为何值时，直线AD1过点C？

（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？ （3）求出y与x的函数表达式．

【分析】（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；

（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=

﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得

出方程，求出即可；

（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可． 【解答】解：（1）

如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P， ∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°， ∵直线AD1过C， ∴PD1⊥AC， 在Rt△ABC中，AC=

=

，CD1=

﹣2，

在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12， 即（3﹣x）2=x2+（解得：x=∴当x=

﹣2）2，

，

时，直线AD1过点C；

（2）如图2，

连接PE，

∵E为BC的中点， ∴BE=CE=1， 在Rt△ABE中，AE=∵AD1=AD=2，PD=PD1=x， ∴D1E=

﹣2，PC=3﹣x，

=

，

在Rt△PD1E和Rt△PCE中， x2+（解得：x=∴当x=

﹣2）2=（3﹣x）2+12，

，

时，直线AD1过BC的中点E；

（3）如图3，

当0＜x≤2时，y=x， 如图4，

当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2，

∵∠1=∠3（根据折叠）， ∴∠2=∠3， ∴AF=PF， 作PG⊥AB于G， 设PF=AF=a，

由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，

在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2， 解得：a=所以y=

，

=

，

．

综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=

【点评】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，用了分类推理思想．

25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积； （3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．

【分析】（1）待定系数法求解可得；

MN=2m（2）设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），分别表示出ME=|﹣m2+2m+3|、

﹣2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；

（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3）、点D（a，﹣a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3）， 解得：a=﹣1，

∴所求抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣如图1，设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，

=1，

∴点N的横坐标为2﹣m， ∴MN=2m﹣2，

∵四边形MNFE为正方形， ∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2， 分两种情况：

①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=当m=

时，正方形的面积为（2

、m2=﹣

（不符合题意，舍去）， ；

（不符合题意，舍去），

﹣2）2=24﹣8

②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+当m=2+

时，正方形的面积为[2（2+

，m4=2﹣）﹣2]2=24+8

．

；

综上所述，正方形的面积为24+8

或24﹣8

（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b， 把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：

，解得：

，

∴直线BC的函数表达式为y=﹣x+3，

设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3），点D（a，﹣a+3），

①点M在对称轴右侧，即a＞1，

则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2， 若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2， 解得：a=

或a=

＜1（舍去）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a， 解得：a=﹣1（舍去）或a=2； ②点M在对称轴右侧，即a＜1，

则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a， 若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a， 解得：a=﹣1或a=2（舍）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2，

解得：a=（舍去）或a=；

、2、﹣1、

．

综上，点M的横坐标为

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程是解题的关键．

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