(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x，f′(x)＝3x≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax＋1的单调性．
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
2
a－12ax＋a－1
f′(x)＝＋2ax＝.
xx2
32
①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是增加的； ②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上是减少的； ③当0
1－a，则当x∈(0, 2a1－a)时，f′(x)<0；当2a1－a，＋2ax∈( 1－a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0, 2a1－a)上是减少的，在( 2a∞)上是增加的．
题型三 已知函数单调性求参数
12
例3 (2016·西安模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋2x(a≠0)．
2(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上递减，求a的取值范围． 12
解 (1)h(x)＝ln x－ax－2x，x∈(0，＋∞)，
2
1
所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在递减区间，
x1
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，
x12
即a>2－有解．
xx12
设G(x)＝2－，所以只要a>G(x)min即可．
xx12
而G(x)＝(－1)－1，所以G(x)min＝－1.
x所以a>－1.
(2)由h(x)在[1,4]上是减少的，得
1
当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
x12
即a≥2－恒成立，
xx12
所以a≥G(x)max，而G(x)＝(－1)－1，
x 6
11
因为x∈[1,4]，所以∈[，1]，
x47
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
16
77
所以a≥－，即a的取值范围是[－，＋∞)．
1616引申探究
1．本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上是增加的，求a的取值范围． 解 由h(x)在[1,4]上是增加的，得 当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立， 12
∴当x∈[1,4]时，a≤2－恒成立，
xx12
又当x∈[1,4]时，(2－)min＝－1(此时x＝1)，
xx∴a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．
2．本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在递减区间，求a的取值范围． 解 h(x)在[1,4]上存在递减区间， 则h′(x)<0在[1,4]上有解， 12
∴当x∈[1,4]时，a>2－有解，
xx12
又当x∈[1,4]时，(2－)min＝－1，
xx∴a>－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)． 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．
已知函数f(x)＝eln x－ae(a∈R)．
1
(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值；
e(2)若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围． 11xxxx解 (1)f′(x)＝eln x＋e·－ae＝(－a＋ln x)e，
xxxx 7
f′(1)＝(1－a)e，由(1－a)e·＝－1，得a＝2.
1x(2)由(1)知f′(x)＝(－a＋ln x)e，
1e
x若f(x)为减函数，则f′(x)≤0在x>0时恒成立． 1
即－a＋ln x≤0在x>0时恒成立．
x1
所以a≥＋ln x在x>0时恒成立．
x1
令g(x)＝＋ln x(x>0)，
x11x－1
则g′(x)＝－2＋＝2(x>0)，
xxx由g′(x)>0，得x>1； 由g′(x)<0，得0 故g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，此时g(x)的最小值为g(1)＝1，但g(x)无最大值(且无趋近值)． 故f(x)不可能是减函数． 若f(x)为增函数， 1 则f′(x)≥0在x>0时恒成立，即－a＋ln x≥0在x>0时恒成立， x1 所以a≤＋ln x在x>0时恒成立，由上述推理可知此时a≤1. x故实数a的取值范围是(－∞，1]． 5．用分类讨论思想研究函数的单调性 典例 (12分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax＋bx，其中函数g(x)的图像在点(1， 2 g(1))处的切线平行于x轴． (1)确定a与b的关系； (2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性． 思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： ①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若 8 根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法． 规范解答 解 (1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2 ＋bx， 则g′(x)＝1 x＋2ax＋b.[2分] 由函数g(x)的图像在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)＝1＋2a＋b＝0， ∴b＝－2a－1.[4分] 2 (2)由(1)得g′(x)＝2ax－?2a＋1?x＋1 x ＝ ?2ax－1??x－1? x. ∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴当a＝0时，g′(x)＝－ x－1 x. 由g′(x)>0，得0 2a，[7分] 若12a<1，即a>12 ， 由g′(x)>0，得x>1或0 由g′(x)<0，得1 2a 若12a>1，即0 ， 由g′(x)>0，得x>1 2a或0 由g′(x)<0，得1 2a， 若12a＝1，即a＝1 2，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0.[11分] 综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上是增加的， 在(1，＋∞)上是减少的； 当0 2时，函数g(x)在(0,1)上是增加的， 在(1，12a)上是减少的，在(1 2a，＋∞)上是增加的； 当a＝1 2 时，函数g(x)在(0，＋∞)上是增加的； 9 当a>12时，函数g(x)在(0，1 2a)上是增加的， 在(1 2a，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．[12分] 1．函数f(x)＝(x－3)ex的递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 答案 D 解析 函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex. 由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)是增加的， 此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2. 2．已知函数f(x)＝12x3 ＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上递增”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 f′(x)＝32x2 ＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立， 故“a>0”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件． 3．已知f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是( ) A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π) C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2) 答案 D 解析 因为f(x)＝1＋x－sin x，所以f′(x)＝1－cos x， 当x∈(0，π]时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，π]上是增加的， 所以f(π)>f(3)>f(2)． 故选D. 10 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课(2)在线全文阅读。
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