2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用
第1课时 导数与函数的单调性教师用书 文 北师大版
1．函数的单调性
如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的． 2．函数的极值
如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，
f(x0)是极大值．
如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，
f(x0)是极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【知识拓展】
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有
1
f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
(3)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内是增加的，那么一定有f′(x)>0.( × )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) (6)三次函数在R上必有极大值和极小值．( × )
1．(教材改编)f(x)＝x－6x的单调递减区间为( ) A．(0,4) C．(4，＋∞) 答案 A
解析 f′(x)＝3x－12x＝3x(x－4)， 由f′(x)<0，得0 2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是( ) 2 3 2 B．(0,2) D．(－∞，0) A．在区间(－2,1)上f(x)是增加的 B．在区间(1,3)上f(x)是是减少的 C．在区间(4,5)上f(x)是增加的 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 答案 C 解析 在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数； 2 3 同理，函数在(1,3)上也不是单调函数；在x＝2的左侧，函数在(－，2)上是增加的，在x2＝2的右侧，函数在(2,4)上是减少的，所以当x＝2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上是增加的． 3．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有 f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为( ) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 A 解析 令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0， ∴g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0. 由g(x)<0＝g(1)，得x>1，故选A. 4．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( ) A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 A 解析 函数的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝1－1x＝x－1 x， 令f′(x)<0，得0 5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．答案 (－∞，－1) 解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， ∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1. 3 第1课时 导数与函数的单调性 题型一 不含参数的函数的单调性 12 例1 (1)函数y＝x－ln x的递减区间为( ) 2A．(－1,1) C．(1，＋∞) B．(0,1) D．(0，＋∞) (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的递增区间是____________． π??π??答案 (1)B (2)?－π，－?和?0，? 2??2??121x－1 解析 (1)y＝x－ln x，y′＝x－＝ 2xx＝ ?x－1??x＋1? (x>0)． 2 x令y′<0，得0 π??π??则其在区间(－π，π)上的解集为?－π，－?和?0，?， 2??2??π??π??即f(x)的递增区间为?－π，－?和?0，?. 2??2??思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为递减区间． 12 (1)函数y＝4x＋的单调增区间为( ) xA．(0，＋∞) C．(－∞，－1) ?1?B.?，＋∞? ?2? 1??D.?－∞，－? 2?? (2)已知函数f(x)＝xln x，则f(x)( ) A．在(0，＋∞)上递增 B．在(0，＋∞)上递减 4 1 C．在(0，)上递增 e答案 (1)B (2)D 1 D．在(0，)上递减 e 112 解析 (1)由y＝4x＋，得y′＝8x－2， xx11 令y′>0，即8x－2>0，解得x>， x2 1?1?2 ∴函数y＝4x＋的增区间为?，＋∞?.故选B. x?2? (2)因为函数f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)， 1 当f′(x)>0时，解得x>， e1 即函数的递增区间为(，＋∞)； e1 当f′(x)<0时，解得0 e1 即函数的递减区间为(0，)，故选D. e题型二 含参数的函数的单调性 132 例2 已知函数f(x)＝x＋x＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间． 3解 f′(x)＝x＋2x＋a开口向上，Δ＝4－4a＝4(1－a)． ①当1－a≤0，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立， 2 f(x)在R上是增加的； －2－4?1－a? ②当1－a>0，即a<1时，令f′(x)＝0，解得x1＝＝－1－1－a，x2＝－1 2＋1－a， 令f′(x)>0，解得x<－1－1－a或x>－1＋1－a； 令f′(x)<0，解得－1－1－a 所以f(x)的递增区间为(－∞， －1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)； f(x)的递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)． 综上所述：当a≥1时，f(x)在R上是增加的； 当a<1时，f(x)的递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)， f(x)的递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)． 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 5 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课在线全文阅读。
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