通信系统仿真课程设计
j?（2k?1）sk?（j?c?2N）??c?2?j?j?2k?12N??c?12k?1j?（?）22N （3.3）
k=0,1,2，···，2N-1。2N个极点等间隔分布在半径为?c的圆上，间隔是?/N rad。如图3.2所示：
j?s0s5s1s4?0 s2s31
图3.2 三阶巴特沃斯滤波器极点分布
s），而右为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成H（as）的表示式为 ?s）半平面的N个极点构成H（。H（aaH（s）?a?cN?1N （3.4）
k?(s?sk?0)例如N=3,通过下式可以计算出6个极点
s0??c?2j?3，s1??c?j?，s2??c?4j?3，s3??c?4j?35j?3，s4??c?j2?，s5??c?7j?3
当N=3时，6个极点中位于左半平面的三个分别为:
s0??c?2j?3，s1??c?j??-?c，s2??c??c32-j?3c
s）： 取s平面左半平面的极点s0，s1，s2组成H（aH（s）?a1N-1（s??c）（s-?2j?3c （3.5）
））（s-?将H（s）?a?（?k?0sc-sk?c对3dB截止频率Ωc归一化：
）s）归一化后的H（表示为： aH（s）?a1N-1?（?k?0sc-sk?c （3.6）
） 8
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令p?s?c?j??c?j?，p称为归一化拉氏复变量。 ???/?c，?称为归一化频率。
经过归一化后巴特沃斯滤波器的传输函数为：
H（p）?a1N-1 （3.7）
k?（p-pK?0）式中，pk?sk/?c为归一化极点，sk为位于左半平面的极点用下式表示： pk??12k?1j?（?）22N ，k?0,1，?N-1 （3.8）
将极点表示式(3.8)代入(3.7)式，得到的H（的分母是p的N阶多项式，用下式表p）a示：
1Ha(p)?（3.9） 2N?1N
b0?b1p?b2p?????bN?1p?p下面来确定N
由技术指标?p，?p ?s和?s确定。 在定义
?p?-10lgH（j?p） （3.10）a22（3.11）?p?-10lgH（j?p） aH（j?）?a1?（21??c）2N （3.12）
j?s），再将 中，将Ω=?p和Ω=?s分别代入(6.2.6)式中，得到H（j?p）和H（aa22H（j?p）a2j?s）代入(3.13)和(3.14)式中，得到： 和H（a2?p??10lg[1?(1?p], )2N （3.13）
?c?s??10lg[1?(1?s?c)2N ] （3.14）
整理得： ?p2N?1?（）?10p/10 （3.15）
?c1?（?s?c）2N?10?s/10 （3.16）
由(3.15)和(3.16)式得到：
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（?p?s）?N1010?p/10?s/10-1-1 （3.17）
令
?sp??s/?p，ksp?则N由下式表示：
N?-lgksp1010?p/10?s/10-1?1 （3.18）
lg?sp （3.19）
取大于等于N的最小整数。
关于3dB截止频率?c，如果技术指标中没有给出，可以按照(3.18)式或(3.19)式求出，
1?（1?（?p?c?s?c））2N?10?10?p/10 （3.20）
2N?s/10 （3.21）
由(3.20)式得到：
?c??（10p0.1?p-1）2N （3.22）
-1由(3.21)式得到：
?c??（10s0.1?s-1）2N (3.23)
lgk-1经过总结，巴特沃斯低通滤波器的设计步骤大致为： ①通过?p,?p,?s和?s的值，用公式N?-②根据公式pk??H（p）?a1N-1splg?sp算出滤波器的阶数N0。 j?（12?2k?1）2N，k?0,1，?N-1，求出归一化极点pk，将pk代入
p）中，得出归一化传输函数H（。 ak?（p-pk?0）p）p）③将H（去归一化。将p=s/Ωc代入H（之中，从而得到实际的滤波器传输函数aaH（s）。 a 10
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4 MATLAB仿真及分析
4.1 MATLAB工具箱函数
MATLAB的信号处理工具箱提供了滤波器的函数 buttap、buttord、butter。
由[z,p,k] = buttap(n)函数可设计出n阶巴特沃斯低通滤波器原型,其传递函数为
H(s)?1(s?p(1))(s?p(2))?(s?p(n))ks?bn?isnn?1 （4.1）
所以事实上z为空阵。上述零极点形式可以化为：
H(s)????b1s?b0 （4.2）
其中b0??cn，令?c?1rad/s，得到巴特沃斯滤波器归一化结果,如表1所示。
表1 n?1~8阶的巴特沃斯滤波器系数
n b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 1 1.0000 2 1.4142 1.0000 3 2.0000 2.0000 1.0000 4 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000 5 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 6 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1.0000 7 4.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.0978 4.4940 1.0000 8 5.1258 13.1371 21.8462 25.8462 21.8462 13.1371 5.1258 1.0000 buttord函数可在给定滤波器性能的情况下 ,选巴特沃斯滤波器的阶数 n 和截止频率?c,从而可用butter函数设计巴特沃斯滤波器的传递函数。[9]
[n ,?c] = buttord (?p,?c,Rp,Rs,′s′) 可得到足性能的模拟巴特沃斯滤波器的最小阶数 n及截止频率?c ,其中?p为通带的拐角频率, ?s为阻带的拐角频率, ?p和?s的单位均为rad/s; Rs为通带区的最大波动系数,Rp为Rs阻带区的最小衰减系数, Rs和Rp的单位都为dB。
[b,a] = butter (n,?c,′s′) 可设计截止频率为?c的n 阶低通模拟巴特沃斯滤波器,其传递函数为:
H(s)? [10]
b(1)s?b(2)ss?a(2)snnn?1B(s)A(s)????b(n?1)n?1???a(n?1) (4.3)
4.2 巴特沃斯低通滤波器的MATLAB仿真
由于冲击响应不变法和阶跃响应不变法的不足 ,下面以双线性变换法设计一个巴特沃思低通滤波器。通过仔细研究MATLAB软件自带的信号处理工具箱下%:MATLABD IR%\\
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toolbox \\ signal \\ signal \\ buttord.m和%MATLABD IR% \\toolbox \\signal\\signal\\butter.m ,可以清楚看到:MATLAB默认采用双线性变换法设计,其实完全可以采用更简洁的方法。[8]
滤波器的性能指标如下:通带截止频率fp=2400Hz，通带最大衰减?p=3dB，阻带截止频率fs=5000Hz，阻带最小衰减?s=25dB
MATLAB程序如下: %巴特沃斯低通滤波器
f_N=16000;
%采样率
f_p=2400; f_s=5000; R_p=3; R_s=25; %设计要求指标 Ws=f_s/(f_N/2); Wp=f_p/(f_N/2); %计算归一化角频率 [n, Wn]=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s); %计算阶数和截止频率 [b,a]=butter(n, Wn); subplot(2,1,1); axis([0 4000 -30 3])
图4.1假定的输入信号的频谱和滤波器的输出信号的频谱
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%计算H(z)
freqz(b,a, 1000, 8000) %作出H(z)的幅频相频图, freqz(b,a, 计算点数, 采样率)
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另附程序调试运行截图：
5.1 总结
首先本文介绍的用 MATLAB对数字巴特沃思滤波器设计的方法 ,在众多方面有很好的应用 ,本文介绍的简易方法还可以用于其他常用滤波器, [8]例如椭圆(Cauer)滤波器等。其次利用本文的MATLAB工具箱函数就可以轻而易举地设计出满足性能指标要求的巴特沃斯滤波器的频率特性曲线,使得巴特沃斯滤波器的设计变得更加简单、快捷、直观。
[9]
5.2 展望
本文虽然对巴特沃斯低通滤波器的许多方面均加以详细介绍，但是作为数字信号处理的一个博大精深的分支，这只是很小的一个方面。随着技术的不断发展和人们对知识的深切渴望，我们对于巴特沃斯低通滤波器的研究还有很长的路要走。
虽然我们对于巴特沃斯低通滤波器的研究已取得很好的成绩，收获了许多可喜的成果，但是我们还有很多问题有待解决。
例如巴特沃斯滤波器的缺陷也很明显,首先其相位不是线性的,另外对低通巴特沃斯滤波器来说,在通带内的??0附近非常逼近理想滤波器,但是在???c附近效果并不好 ,也就是说它不是等纹波的逼近理想滤波器。[8]所以我们对于此方面的研究还需进一步的探索；许许多多的问题需要利用我们聪明的大脑以及大量的实践去解决，相信在不久的将来，我们在巴特沃斯低通滤波器的问题上会取得飞快的进展。
参考文献
[1] 徐明远 邵玉斌.MATLAB仿真在通信与电子工程中得应用（第二版）.西安电子科技大
学出版社, 2010
[2] 互联网，matlab论坛——http://www.ilovematlab.cn/
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