概率论期末复习试题二(2)

39、设总体X服从二项分布B（10，），X1，X2，X3，???，Xn为来自该总体的简1001n1n2 单随机样本，X=?Xi与Sn=?(Xi?X)2分别表示样本均值和样本二阶中心ni=1ni?1 矩，则E（X）（= ），E（S2= ）。n）（333397291解：由X~B（10，），得：E（X）=10?=，D（X）=10??=，1001001010010010003n-1291（n-1） 所以E（X）=E（X）=，E（S2）=D（X）=n10n1000n

三、应用题：

1、 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为多少？（古典概型）

解：设事件A为“任取3个球恰为一红、一白、一黑” 由古典概型计算得所求概率为P（A）=

5?3?21??0.253C104

2、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个

黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（事件的独立性与条件概率）

解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概 率公式有：

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) 21115??????0.417323412

3、设有两种鸡蛋混放在一起，其中甲种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从

N(50,25)分布，乙种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从N(45,16)分布。设甲

种蛋占总只数的70%，

（1） 今从该批鸡蛋中任选一只，试求其重量超过55克的概率； （2） 若已知所抽出的鸡蛋超过55克，问它是甲种蛋的概率是多少？

（ ?(1)?0.8413,?(2.5)?0.9938)

解：设B=“选出的鸡蛋是甲种鸡蛋” ，B=“选出的鸡蛋是乙种鸡蛋” A=“选出的鸡蛋重量超过55克” ，X=“甲种鸡蛋单只的重量” ， Y=“乙种鸡蛋单只的重量” ， 则 P(B)?0.7,P(B)?0.3,

P(AB)?P{X?55}?1?P{X?55}?1??(55?50)?1??(1)?1?0.8413?0.15875

P(AB)?P{Y?55}?1?P{Y?55}?1??(55?45)?1??(2.5)?1?0.9938?0.00624

（1）P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB) ?0.7?0.1587?0.3?0.0062?0.11295

P(AB)P(B)0.11109 （2）P(BA)???0.9835

P(A)0.112954、 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为

?15x2y f?x,y???

其它?0

（1）. 求边缘概率密度函数fX(x),fY(y;).； （2）求fYX(yx)； （3）求P{X?Y?1}。

??

0?x?y?11解：（1）fX(x)???? 0?x?1时,f(x,y)dy ，

fX(x)??15x2ydy?x152x(1?x2) 2?152?x(1?x2)0?x?1fX(x)??2

?0其它???y fY(y)????f(x,y)dx ， 0?y?1时,fY(y)??15x2ydx?5y4

0?5y4 fY(y)???00?y?1 其它 (2) 0?x?1时，fX(x)?0

2yf(x,y)????1?x2 fYX(yx)?fX(x)?0?0?x?y?1其它12

1?x (4) P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?15x2ydy?0x564

5、袋中有2个白球，3个黑球，不放回地连续去两次球，每次取一个。若设随机变量X与Y分别为第一、二次取得白球的个数。试求： （1）（X,Y）的联合分布律

（2）关于X及关于Y的边缘分布律 （3）求X=1时，Y的条件概率密度 （4）判断X与Y是否相互独立 解：（1）（2）由题目知（X,Y）的所有可能取值为

（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）

且由古典概率可以求得其联合分布律及边缘分布律（见下表） X Y 0 1 P(i﹒) 6630 202056221 2020532P(﹒j) 55 （3）P｛Y=0｜X=1｝= P｛X=1｜Y=0｝/P｛X=1｝ 620 =3

53 =

4P｛X?1｜Y?1｝ P｛Y=1｜X=1｝=

P{X=1}220 =2

51 =

4 （4）由于P｛X=0｜Y=0｝= 互独立。

69≠P｛X=0｝P｛Y=0｝=，故X与Y不相2025

6、已知（X,Y）的分布律如下表所示， X Y 0 10 41 0 2 1 6试求：（1）在Y=1的条件下，X的条件分布律 （2）在X=2的条件下，Y的条件分布律 解：（1）（2）由联合分布律得关于X与Y的两个边缘分布律为 X 0 1 31P(k) 83 Y 0 1 511P(k) 1224故在Y=1条件下，X的条件分布律为 X｜（Y=1） 0 1 38P(k) 1111 （2）由（1）的分析知，在X=2的条件下，Y的条件分布律为 1 1 81 30 2 0 0 1 82 7 242 1 82 0 Y｜（X=1） P(k) 0 4 71 0 2 3 7 7、设总体X服从泊松分布。一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8。 计算样本均值，样本方差和经验分布函数。 解：由题意知，样本的频率分布为 X 1 2 3 4 5 6 8 m/n 1/10 1/10 2/10 3/10 1/10 1/10 1/10 则X=4，S2=4. 经验分布函数为

?0，x?1?1?,1?x?2?10?2?,2?x<3?10?4?,3?X?410??F（x）??7?10,4?X?5??8,5?X?6?10?9?,6?X?8?10??1,X?8??

8、某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规 定，一条生产线上熟练工人数不得少于3人，已知这10名工人中熟练工8 名， 学徒工2名。

（1）求工人的配置合理的概率； （2）为了督促其安全生产，工厂安全生产部每月对工人的配置情况进行两次抽 检，求两次检验得到结果不一致的概率。

4解：（1）从从10名工人中选配4人共有C10=210种可能，而一条生产线上熟练 314 工人数不得少于3人共有C8C2+C8C02=56种，所以工人的配置合理的概

5613=。 21015 （2）两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验 。因两次检验得出工人的 配置合理的概率均为13/15，故两次检验中恰好有一次合理的概率为

131352 C1（1-）= 。 21515225

9、设A=｛（x，y）| 1≤x≤6,1≤y≤6，x，y∈N*｝. (1)求从A中任取一个元素是（1,2）的概率。 (2)从A中任取一个元素，求x+y≥10的概率 解：（1）、分别从X、Y各抽出一个元素都有6种可能，则共有6*6=36种结果。 其中抽到元素（1,2）的可能有一种，所以从A中任取一个元素是（1,2）

1 的概率为。

36 （2）、随意抽到结果为X+Y≥10的元素可能结果为（4,6）、（5,5）、）（5,6） （6，4）、6,5）（6,6）共有6种，所以从A中任取一个元素，求x+y≥

率为

1 10的概率为。

6

110、已知离散型均匀总体X(X=2,4,6)，其分布律为：P2=P4=P6=，取容量为n=54的3 样本，求： （1）样本均值X落在4.1~4.4之间的概率； （2）样本均值X超过4.5的概率。1解：由题意得：?=E（X）=?（2+4+6）=4，3182 ?2=E（X2）-?E（X）（22+42+62）-42=?=?3382?422 所以 ?X=?=4，?X==3=，?X=。n54819近似X-4 令Z=，则n充分大时，Z~N（0,1）。294.1-44.4?4 则有P{4.1

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