2014年高考真题——数学理(新课标I卷)纯word解析版(3)

当且仅当t?2，k??7等号成立，且满足??0，所以当?OPQ的面积最大时，l的方2程为：y?

77x?2 或y??x?2. …………………………12分 22bex?121. (本小题满分12分)设函数f(x0?aelnx?，曲线y?f(x)在点（1，f(1)处的

xx切线为y?e(x?1)?2. (Ⅰ)求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)?1.

x【解析】：(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为?0,???，f?(x)?aelnx?axbx?1bx?1e?2e?e xxx由题意可得f(1)?2,f?(1)?e，故a?1,b?2 ……………6分

22ex?1?x（Ⅱ）由(Ⅰ)知，f(x)?elnx?，从而f(x)?1等价于xlnx?xe?

exxx)?x?nlx设函数g(x)?xlnx，则g?(，所以当x??0,?时，g?(x)?0，当x??,?????1?e??1?e??时，g?(x)?0，故g(x)在?0,?单调递减，在?,???单调递增，从而g(x)在?0,?????1?e??1?e??1e2?x?x设函数h(x)?xe?，则h?(x)?e?1?x?，所以当x??0,1?时，h?(x)?0，当

e的最小值为g()??. ……………8分

故h(x)在?0,1?单调递增，在?1,???单调递减，从而h(x)g(x)x??1,???时，h?(x)?0，

在?0,???的最小值为h(1)??.

综上：当x?0时，g(x)?h(x)，即f(x)?1. ……………12分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

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1e1e

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.

【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以

?D=?CBE，由已知得，?CBE=?E ,

所以?D=? ……………5分

知MN⊥

N（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=

所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故?A=?CBE， 又?CBE=?E，故?A=?所以△ADE为等边三角形． ……………10分

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

由(Ⅰ)（1）知?D=?E，

?x?2?tx2y2??1，直线l：?已知曲线C：（t为参数）. 49?y?2?2t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为：?o?x?2cos? （?为参数），

?y?3sin?直线l的普通方程为：2x?y?6?0 ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos?,3sin?)到l的距离为

d?54cos??3sin??6， 54d25tan???5sin????6，其中为锐角．且. ???3sin3005则|PA|?当sin???????1时，|PA|取得最大值，最大值为225； 5第 12 页 共 13 页

当sin??????1时，|PA|取得最小值，最小值为

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若a?0,b?0，且

3325. …………10分 511??ab. ab(Ⅰ) 求a?b的最小值；

（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ) 由ab?112??，得ab?2，且当a?b?2时等号成立， abab故a3?b3?3a3b3?42，且当a?b?2时等号成立，

∴a?b的最小值为42. ………5分 （Ⅱ）由6?2a?3b?26ab，得ab?333，又由(Ⅰ)知ab?2，二者矛盾， 2所以不存在a,b，使得2a?3b?6成立. ……………10分

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