基于拉普拉斯金字塔的一种图像压缩表示

使用拉普拉斯金字塔作为一种压缩图像编码方式

摘要--我们以形状相同作为衡量的基准，以多种层次来构想出了一种图像编码技术。这种表达方法与已经提出的方法的不同之处在于，编码的基准不仅在于空间中，也在空间频率中。

首先把图像减去一个通过一个低通滤波器的该图像，以此来移除图像中像素与像素间的关系。这种操作的结果是不同或者说错误被压缩为一种网络数据，图像有了更低的方差和信息熵。通过量化不同图像，可以达到进一步的数据压缩。对于通过低通滤波的图像我们重复这些步骤。通过适当的进行这些步骤的重复我们可以得到一个金字塔状的数据结构。

这种编码过程相当于在不同的程度上对图像进行拉普拉斯变换。由是，这种编码增强图像的凸出特征。一种这种表示编码的深远优点在于它不仅适合于图像压缩，也适合于多种图像分析任务。这是一种对于编码和解码锁提出的快速算法。

介绍

一个图像的通常特性是相邻的像素一般都具有高关联。因此单纯使用像素值来表示一个图像的效率是十分低下的：这种编码方式的许多信息是多余的。因此设计一种高效的的压缩编码方式的首要任务是寻找一种有效的解除图像像素之间关系的表示方式。通过预测和变形技术已经达到了这一目的（[9][10]）。

在预测编制中，像素被按顺序编码为一种栅格格式。然而，在编码每个像素前，先使用之前编码过的相同栅格队列来对像素值进行预测。被预测到的像素值作为多余数据被从现在的像素值中移除，只有不同点和预测错误被编码。由于只使用之前编码的数据来预测每个像素的值，这个过程被视为是有因果的。这种预测因果性的限制促进了解码过程：为了进行解码，只需要对于已经解码的相邻元素进行重新计算即可得到所给像素的预测值，这样就可以弥补预测中的错误。

无因果的基于一个以每个像素为中心的对称相邻的预测，在预测精确性上有着更大的收益，因此在数据压缩上收益也更好。然而，这种方法并不允许简单的连续编码。非因果的方法只特别的适用于图像转化和大批量的同步方程的解。比起按顺序得进行图像编码，这种方式一起或者成区块得对像素进行编码。

预测和转化的技术都有其有点。前者实施较为简单兵器易于使用于局部的图像特点。后者提供更大的数据压缩，但以更大的估算量为代价。

这里我们较少一种新的移除图像关联性的计算方法，这种方法既有预测又有转化方法的特征。这种方法是无因果的，而且此种方法相对比较简单和局部。

对于每个像素的预测值，使用一种以像素本身为中心的单峰的类高斯（或者关联的三峰）加权算法来计算成一种局部加权平均值来得出。对于所有像素的预测值先由对图像以这种方法做计算来得出。结果是一个原图像通过一个低通滤波器后得到的图像，之后，从原图像中减去这一结果。

使用

作为原始图像，

作为添加一个恰当的低通滤波器的结果。预测错误

就可以由下式给出。

比起编码

，我们编码

和

。这以一个网络数据压缩作为结果，因为a)

的像素所表示。b)

被大幅

度解除相关，并且可能被比特数远少于可以会在一个低取样率下被表示。

是通过了一个低通滤波器的，

进一步的数据压缩可以通过重复这一过程来得到。将通过低通滤波器的个低通滤波器得到

，之后就又得到了第二个错误图像

继续通过一。通过数次

重复这些步骤我们得到了一个二维数组。在我们的实施过程中，每个

图像都比之前的减少了一般的取样密度。如果我们现在假设这些图像一个叠在另一个上，结果就成了一个逐渐变细的数据金字塔结构。金字塔的每个节点代表着两个类高斯或者关联数据与原图想的卷积。这两种计算的不同之处类似于经常在图像放大中经常使用的“拉普拉斯”变换[13]。由是，我们把这种提出的图像压缩表称为拉普拉斯金字塔编码。

上面所描述的编码方式仅在所需要的滤波计算可以以一种有效率的算法运行时才具实际意义。最近已经有一个合适的快速算法被开发出来[2]，下一部分我们会对这一算法做出描述。

高斯金字塔

拉普拉斯金字塔编码的第一步是将原始图像们说们用

是一个作为

通过一低通滤波器以得到图像

。我

的“削减过”的版本，因为分辨率和取样率都下降了。使用同样的方式我的削减版本，以此类推。滤波过程通过一个等价于与一系列局部均匀加权计

算中的一个做卷积的方式来进行。这一系列中的一个重要的成员类似于高斯概率分布，所以这一系列图像被称为高斯金字塔。

一种生成高斯金字塔的快速算法将在下一分段中给出。在接下来的分段中我们会展示出这同一算法是如何被用于通过在取样点中插入中间值来“扩张”一个图像数组的。这一装置在这里被用于帮助显示出高斯金字塔的等级内容，在下一部分中则定义拉普拉斯金字塔。 高斯金字塔生成

假设一幅图像最初是由一个有C列R行像素的数组

表示的。每个像素以一个介于0

和K-1的整数值I表示出对应图像相应点的光强度值。这个图像就成为了高斯金字塔的底部或者第零级。金字塔等级1包含了图像（一个减弱过的或者说通过了低通滤波器的

）。

等级1的每个值来自于对等级0的每个5*5区域值做加权平均数。而等级2中的每个值则由对等级1做同样的加权平均。一个这种过程的图解一维表示在图1中被给出。加权计算的规模事先是不确定的[2]。我们选择5*5模式是因为这种模式在低计算量下提供了适当的滤波。

这种等级*等级的平均过程由函数REDUCE表示。

（1）

这代表着，对于等级0

这里N参考金字塔中等级的数目，而方向上节点密度下降了一半。如果整数

,和

是第l等级的规模大小：注意图一中每个和N符合公式：

和

则原图像的规模是适合于金字塔构建的。（举个例子，如果

是3，N为5，则图像是一个有97*97像素的图像）

。

的规模为

和都和

图1.一个生成一个高斯金字塔的过程的一维表示，行中的每个点代表着金 字塔的一个等级中的一个点。在第0级的每个点的值就是对应的图像像素 点的灰度值。在更高等级的点的值是其低1级的点值的加权平均。注意点 的空间每一级都会防备，这种同样的加权平均过程或者说“核心构成过程” 也用于生成所有等级。 生成核

注意相同的5*5模式的加权w被用于从他的前身上生成每个金字塔的排列。这一加权模式，叫做生成核，它是受特定的限制而选出的[2]。为了简便我们把w分离开来：

一维的，长度为5的值

被规定为

对应有

一个附加的限制叫做相等贡献。这保证了所有在一个给定的等级上的点给下一个更高级的点提供了相同的权重（=1/4）。让

，

，并且

。这三个约束在一

。则此时符合相等贡献原则应有

下情况下被满足

等权重式

反复进行金字塔生成过程等价于将原图像与一系列“等权重式”卷积。

或者是

空间位置（X）

图2.高斯金字塔中等级1.2.3和无穷大中节点的等权重函数。注意图像的X轴

为了帮助比较进行了变化。这里生成核的参数a为0.4，这使得等价权重函数类似于 高斯概率密度函数。 等价权重函数的大小

在由一个金字塔等级变化到下一个时将翻倍，采样点距离也是

一样。

高斯金字塔1，2，3的等权重函数在图2中被表示出来。在a=0.4的情况下。权重函数的形状会很快汇集成金字塔高层情况下的外形，所以只有他的规模会起变化。然而，这一兴中并不决定于生成核的a的取值。四种不同a的选择的特征外形在图3中给出。注意等价权重函数仅在a=0.4是类高斯外形的。当a=0.5时，图像会变成三角状。而当a=0.3时他比高斯形状更加宽和平。当a=0.6时图像的中心会更快到达高点并且带有左右两个负数瓣。 快速滤波

将图像与等价权重函数

是把图像模糊化或者说是通过了一个低通滤波器。金字塔算

法每提升1个金字塔等级都会将滤波器频带限制减少八度。这是一种非常快速的算法，比起使用快速傅立叶变换来计算一个滤波后的图像，此种算法计算计算一系列经过滤波的图像仅需要更少的计算性步骤[2]。

例如：图4举例说明了一个以a=0.4构成的高斯金字塔的内容。最左侧是的是原始图像，像素数为257*257.这成为了高斯金字塔的等级0.由于减少了的采样数，每个更高的等级排列在每个维度上都大概比它的上一级小一半。

图3.等价权重函数的形状取决于参数a的选择，a=0.5是，函数是三角状； a=0.4它是类高斯外形的，a=0.3时它比高斯外形要宽。a=0.6时函数是三态的。

高斯金字塔的插入

我们现在定义一个函数EXPAND作为REDUCE函数的反面。它的效果是通过在给定的价

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