高数小结与各年试题

昆明理工大学2006级高等数学[下]期末试卷 一、填空题（每小题3分，共30分）

?z2（1）设z?x?y?3xy（2）设z3322，则?x2?___________.

.

33?xy?yx，则全微分dz?________________23（3）曲线x?2t,y?3t,z?t在M(2,3,1)处的切线方程为： .

23（4）交换二次积分次序，则

?0dy?012yf(x,y)dx?_________________________.

（5）设有曲线：y?x的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分：L（6）设曲面?是锥面z?a?I??yds? .

x?y22(a?0)在柱面x?y?a222内部那一部分上侧，则曲面积

分

???(z?x?y)dS?22 .

f(x,y)?22f(x,x)?1,f(x,x)?x.则1具有连续偏导数，且

?2f2(x,x)?

（7）设

（8）当?? 时，(x?2y)dx?(?x?y)dy为某二元函数u(x,y)的全微分. (9) 微分方程yedx?edy?0的通解为

dy2xx(10) 微分方程dx22?6dydx2?9y?0的通解为

?z?x;?z?x22二．（7分）设

x?2y?z?3z?0,求..

三．（7分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为l 的一切直 角三角形中，求有最大周长的直角三角形.

??xy22dxdy四 （7分）利用适当的坐标计算积分D围城的闭区域.

其中D 是由直线： x?2,y?x及曲线xy?1 所

333??xdydz?ydzdx?zdxdy,? I?五 （10分）利用高斯公式计算曲面积分：

- 1 -

其中?是曲面z?a?x?y上侧.

222六．(10分) 利用格林公式，计算曲线积分：

?(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy,其中LL为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正

向边界.

七．(10分) 求由抛物面

z?12(x?y)22与平面z?1 所围成空间闭区域内的立体的质

量，已知此立体的体密度为:?(x,y,z)?z.

八．(10分) 二阶常系数非齐次线性微分方程 y???y??6y?5x，求其通解.

九．（9分）设曲线积分L?23y?(x)dx?[?(x)?212x]ydy2与路径无关, 其中?(x)具有连续的一阶导1,数,且当其为起点在O（0，0）终点为B（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于4求函数?(x). 昆明理工大学2007级高等数学[下]期末试卷

一、填空题（每小题3分，共30分）

du（1）设u?f(x,y,z),（2）设z?e（3）曲面

x2y?sinx，z?x?2,f具有一阶连续偏导数，则dx?

sin2y，则全微分dz

z?ez?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为

21（4）交换二次积分次序，则?（5）计算二重积分的值（6）曲线L为球面xdx?x1f(x,y)dy?

??4xydxdyD2? ，其中D:??0?x?1,??0?y?1

2?y2?z2?a与平面x?y相交的圆周，其中a?0，则曲线积分

??L2y2?zds?2

22x?y?（7）设曲面是在柱面

?a2 (a?0)上介于z??h;z?h(h?0)的部分，则曲面积分

I?

??ds??

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（8）当a? 时，曲线积分L关. dy?(axy?ycosx)dx?(1?2ysinx?3xy)dy3222 与路径无

（9）微分方程dx?2y?be?x(b为常数)的通解为 dy2（10）微分方程dx2?9y?0的通解为

之和为12，求

dxdyu?xyz32二、（8分）已知三个正数

x,y,z的最大值.

2三、（8分）计算二重积分区域.

??Dsinxx的值，其中D是由直线

y?x及曲线

y?x所围成的闭

四、（10分）求旋转抛物面

z?2?x2?y2与锥面

z?x2?y2所围立体的体积.

五、（10分）求L?(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy，其中L为顶点坐标分别是(0,0)，(3,0)，(3,2)的三角形的正向边界. 六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：

??(x?3?az)dydz?(y23?ax)dxdz?(z23?ay)dxdy2，其中?是曲面z?a?x22?y2的上侧

(a?0).

七、（10分）求二阶常系数非齐次线性微分方程

axy???4y??4y?e的通解（其中a为常数）.

y八、（10分）设(x?0)f(x)具有一阶连续导数，且f(?)?1，又x[sinx?f(x)]dx?f(x)dy?0 是全微分方程，求f(x).

z?z(u)u??(u)?九、（6分）已知，且

?xyp(t)dt，其中z?z(u)可微，??(u)连续，且??(u)?1，

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p(t)连续，求

p(y)?z?x?p(x)?z?y.

昆明理工大学2008级高等数学[下]期末试卷一．填空题（每小题4分，共40分） 1.由曲线

y?1x与直线y?x及x?2围成的图形的面积为A,若以x为积分变量,面积A可用定积

分表示为A? . 2.设f(x,y)为连续函数，则交换二次积分次序后

?0dx?03.

1x2f(x,y)dy? .

22I??(x2?y2)ds?L ,其中L是圆弧

x?y?1,y?0.

I????x?y?z?dS??4.

，其中?为平面x?y?z?1在第一卦限中的部分.

5.设?为xoy面上的闭区域,取下侧, D表示?在xoy面的投影,将

I???P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dxdz?R(x,y,z)dxdy?化为D上的二重积分,则

I? .

??6. 已知级数n?1ex?Un?S,则级数n?1?(Un?Un?1)的和是 .

7.已知

?xn??,x?(??,??)n?0n!?xxln3? . ，则3?e8.当a?1时,级数9.全微分方程

?1?an?131n的敛散性为 .

222xydx?(1?3xy)dy?0的通解为 .

10.一阶线性非齐次方程:y??P(x)y?Q(x)的通解为

y?

.

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二、计算下列各题(每小题5分，共10分) 1.求曲线

y?x2与x?y所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

I???|y?x2|dxdy,D:|x|?1,0?y?1.D2.

三、（7分）计算三重积分

I?????x2?y2?z2dxdydz，其中?是由球面x2?y2?z2?2z所围成的闭区域.

I?(x?y)dx?(x?y)dy222??Lx?y?a(a?0)（按逆时针x2?y2，其中L为圆周

四、（7分）计算方向绕行）

I?五、(8分)计算曲面.

????x?2?y2dS?，其中?是锥面z?x2?y2及平面z?1所围成的区域的整个边界

I?六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分

z?a2?x2?y2axdydz?(z?a)dxdy.222??x?y?z?其中?是曲面

的上侧.(a?0为常数）.

?n?1nx?n!分)设幂级数为n?0七、(8，求（1）收敛半径R及收敛区间，

（2）和函数S(x).

八、计算下列各题（每题6分 共12分） 1.如果可微函数2.求微分方程

f(x)满足关系式

f(x)??0xf(t)dt，求

f(x).

2xy???y??2y?2e的通解.

各年期末试卷参考解答

2006级高等数学[下]期末试卷参考解答及评分标准 填空题(每题3分,共30分)

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