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信号检测与估计理论第一章习题讲解(5)

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1-32 已知三维高斯随机变量(X1,X2,X3)各分量相互独立,皆服从标准高斯分布。求Y1?X1?X2和Y2?X1?X3的联合特征函数?

?????0??100M??0???X???C?X???010?

?0???001??

思路:Y??是?X??线性变换故也服从高斯分布,求得可以写出联合特征函数

??Y?X1??X1?1?X1?X2?Y???Y1?????110???2?X1?X3?Y2??101??X??2?AX????X3??2? ???X3?Y??AX?,线性变换,故Y??也服从高斯分布

??M??AM?????0YX??CACT??21??0??Y?XA??12??

N维高斯变量的联合特征函数

QjU???TY????????T??UTC??Y??1,?,?n??E??YU???e???exp??jMYU???2?????22??

?exp??1??1?2??2?

??M?YCY就

2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?6xy(2?x?y)0?x?10?y?1 fXY(x,y)??0else?

(1)条件概率密度f(xy),f(yx)

(2)X和Y是否独立?给出理由。

解题思路:f(x,y)?fX(x),fY(y)?f(xy),f(yx)

解:(1)

fX(x)?????12???06xy(2?x?y)dy?4x?3x0?x?1fXY(x,y)dy???else?0?6y?2?x?y?fXY(x,y)?0?x?10?y?1fY(yx)???4?3xfX(x)?0else??6x?2?x?y?0?x?10?y?1?同理fX(xy)??4?3y?0else?

(2) fX(xy)?fX(x)orX和Y不相互独立

fXY?x,y??fX?x?fY?y?

4、已知 (X1,X2,X3) 是三维高斯变量,其期望和方差为

?X1???X??X?2??m1??0?????0?MX??m?2????732??CX??341?? Y1?X1?X2 Y2?X3

??X3????m3????0????212??求:(1) (X1,X2)的边缘特征函数。

(2) (Y1,Y2)的联合概率密度

高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布

所以(X?1,X2)、Y服从高斯分布

(1) E??X1??X????0??C?73?X1X2???2??0??34? ?22Qexp??7u1?6u1u2?4u2?X?u1,u2???2??

(2) A???110???0??17?001??MY???0??CY???3C?1?1?2?3?Y?25CY25???317??

3?2?? 22??2Y?6Y?Y?17Y?1112?2fY?y1,y2??exp???

10?50??

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