信号检测与估计理论第一章习题讲解

1-9 已知随机变量X的分布函数为

?0?FX(x)??kx2?1?,x?0,0?x?1

,x?1求：①系数k； ②X落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X的概率密度。 解：

第①问 利用FX(x)右连续的性质 k＝1 第②问

P?0.?3X?0?.7?P??F?0.?7?F??0?0?.X3.3X.?70.?7??P?0

dFX(x)?2x第③问 fX(x)?dx???00?x?1else

1-10已知随机变量X的概率密度为fX(x)?ke普拉斯分布），求：

?x(???x???)（拉

①系数k ②X落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X的分布函数 解： 第①问

?????f?xx?1d?x11?k 2??F?2x??????F1?xx1第②问 P?X??2xx2 fxdx随机变量X落在区间(x1,x2]的概率P{x1?X?x2}就是曲线y?f?x?下的曲边梯形的面积。

P?0?X?1??P?0?X?1???f?x?dx011?1?e?12??

第③问

?1xe??2f?x????1e?x??2x?0x?0

F?x???x??f(x)dx?1xx?0?e???21?x?x?01?e??2x?0?x1xedx???????2?01exdx?x1e?xdx?02?????2

x?01-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？

?????????(0-1)分布n??,p?0,np=?二项分布?????????泊松分布n??成立,p，q?0不成立?????????高斯分布

汽车站出事故的次数不小于2的概率

P(k?2)?1?P?k?0??P?k?1? ?0.1P(k?2)?1?1.1e答案

P?X?k?＝n=1

实际计算中，只需满足n?10?ke??k!p?0.1，二项分布就趋近于泊松分布?＝np1-12 已知随机变量(X,Y)的概率密度为

?(3x?4y)??kefXY(x,y)??0??,x?0,y?0 ,其它求：①系数k？②(X,Y)的分布函数？③P{0?X?1,0?X?2}？

第③问 方法一：

联合分布函数FXY(x,y)性质：

若任意四个实数a,a,b,b，满足

1212a1?a2,b1?b2，则

P{a1?X?a2,b1?Y?b2}?FXY(a2,b2)?FXY(a1,b1)?FXY(a1,b2)?FXY(a2,b1)

?P{0?X?1,0?Y?2}?FXY(1,2)?FXY(0,0)?FXY(1,0)?FXY(0,2)

方法二：利用

P{(x,y)?D}???fXY?u,v?dudvD20

P{0?X?1,0?Y?2}??

?0fXY?x,y?dxdy

11-13 已知随机变量(X,Y)的概率密度为

?1,0?x?1,y?xf(x,y)?? 0,其它?①求条件概率密度fX(x|y)和fY(y|x)？②判断X和Y是否独立？给出理由。

先求边缘概率密度fX(x)、fY(y)

注意上下限的选取

f)???????f??x?xdy,0?x?1?2xX(xXY?x,y?dy??????0,else?0???1ydx,0?y?1f(y)????f?1Y??XY?x,y?dx?????ydx,?1?y?0???0,else,0?x?1else??1?|y|?0?1?y?1else，

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