厦门理工线性代数练习册--2014版参考答案(5)

2．若向量组?,?,?线性无关，向量组?,?,?线性相关，则 [ C ] （A）?必可由?,?,?线性表示 （B）?必不可由?,?,?线性表示 （C）?必可由?,?,?线性表示 （D）?比不可由?,?,?线性表示 二．填空题：

1． 设3(?1??)?2(?2??)?5(?3??)，其中?1?(2,5,1,3)T，?2?(10,1,5,10)T

2，3，4)T ?3?(4,1,?1,1)T，则?? (1，2． 已知?1?(1,1,2,1)T,?2?(1,0,0,2)T,?3?(?1,?4,?8,k)T线性相关，则k? 2 3． 设向量组?1?(a,0,c),?2?(b,c,0),?3?(0,a,b)线性无关，则a,b,c满足关系式abc?0 三．计算题：

1． 设向量?1??k?1,1,1?，?2?(1,k?1,1)T，?3?(1,1,k?1)T，??(1,k,k2)T，试问当k为

T何值时 （1）?可由?1,?2,?3线性表示，且表示式是唯一？

（2）?可由?1,?2,?3线性表示，且表示式不唯一？ （3）?不能由?1,?2,?3线性表示？

11 0??k?1?三、 1. (?1,?2,?3,?)=?1k?11 k??2??11k?1 k???11k?1 k2 ??????????0k-k k?k2 ??00?k2?3k k(1?2k?k2)???(1)k?0且k??3时，R(?1,?2,?3,?)=R(?1,?2,?3)?3,?可由 ?1,?2,?3线性表示，且表达式唯一.(2)k?0时，R(?1,?2,?3,?)?R(?1,?2,?3)?1,?可由 ?1,?2,?3线性表示，且表达式不唯一.(3)k??3时，R(?1,?2,?3,?)?R(?1,?2,?3),?不能 由?1,?2,?3线性表示.21

2． 设向量?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5,)T，?3?(1,?1,a?2,1)T，?4?(1,2,4,a?8)T （1）?不能由?1,?2,?3,?4线性表示？ ??(1,1,b?3,5)T，试问当a,b为何值时，

（2）?有?1,?2,?3,?4的唯一线性表达式？并写出表达式。

111??11111??11 ???01?1?101?12121 ?????2. 4b?3??00a?10b? ?23a?2????0 ?351a?85??000a?10?

0 (1)a??1且b?0，R(1,2,3,4,)?R(1,

不能由1,2,3,4线性表示.

(2)a??1，R(?1,?2,?3,?4,?)?R(?1,?2,?3,?4)?4, ?可由?1,?2,?3,?4唯一线性表示. 2ba?b?1b??????+?3+0?412 a?1a?1a?1

??1??0????0??0?0000010012b?a?1??a?b?1?a?1??b?a?1??0?????????2,?3,?4),?????线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 §3.3 向 量 组 的 秩

一．选择题：

1．已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 （B）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 （C）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 （D）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 2．设向量?可由向量组?1,?2,?,?m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：?1,?2,?,?m?1线性表示，记向量组（Ⅱ）：?1,?2,?,?m?1,?，则 [ B ] （A）?m不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

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（B）?m不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C）?m可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D）?m可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示

3．设n维向量组?1,?2,?,?s的秩为3，则 [ C ] （A）?1,?2,?,?s中任意3个向量线性无关 （B）?1,?2,?,?s中无零向量

（C）?1,?2,?,?s中任意4个向量线性相关 （D）?1,?2,?,?s中任意两个向量线性无关 4．设n维向量组?1,?2,?,?s的秩为r，则 [ C ] （A）若r?s，则任何n维向量都可用?1,?2,?,?s线性表示 （B）若s?n，则任何n维向量都可用?1,?2,?,?s线性表示 （C）若r?n，则任何n维向量都可用?1,?2,?,?s线性表示 （D）若s?n，则r?n

二．填空题：

1．已知向量组?1?(1,2,?1,1),?2?(2,0,t,0),?3?(0,?4,5,?2)的秩为2，则t = 3 2．已知向量组?1?(1,2,3,4)，?2?(2,3,4,5)，?3?(3,4,5,6)，?4?(4,5,6,7)，则该向量组的秩为 2

3． 向量组?1?(a,3,1)，?2?(2,b,3)，?3?(1,2,1)T，?4?(2,3,1)的秩为2， 则a = 2 ， b = 5

三．计算题：

1．设?1?(3,1,1,5)，?2?(2,1,1,4)，?3?(1,2,1,3)T，?4?(5,2,2,9)，??(2,6,2,d) （1）试求?1,?2,?3,?4的极大无关组

（2）d为何值时，?可由?1,?2,?3,?4的极大无关组线性表示，并写出表达式

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TTTTTTT

?3215??1?1122??0?????????三、1.(1)(?1,?2,?3,?4)?????1112??0???5439???0因为R(?1,?2,?3)?3,则?1,?2,?3线性无关，且?4故?1,?2,?3为?1,?2,?3,?4的一个极大无关组.?3?1(2)??1??5212?2??321?112?126?6?????????????00?1?4?112????43d?000d?6??只有d?6时R(?1,?2,?3,?)?R??1,?2,?3??3,2??321?0?104??1126??1002?r????????00?1?4??00?1?4??????0000??0000?所以?=2?1?4?2?4?3.32112?121??010??000???1??2.即?可由?1,?2,?3,?4的极大无关组?1,?2,?3表示.22．已知3阶矩阵A有3维向量x满足Ax?3Ax?Ax，且向量组x,Ax,Ax线性无关。 2 （1）记P?(x,Ax,Ax)，求3阶矩阵B，使AP?PB； （2）求 | A |

2322.(1)AP?Ax,Ax,Ax?x,Ax,Ax

?0 0 0?

?P?1 0 3??PB??

?0 1 -1? ?? 2又x,Ax,Ax线性无关，?P可逆.

?????0 0 0??1 0 3?,???0 1 -1???24

?000???B??103?

?01-1???（2）A?PBP?1,则有A?PBP?1?B?0

线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 §3.4 n维向量空间的定义

一．选择题：

1．设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ B ] （A）?1??2,?2??3,?3??1 （B）?1??2,?2??3,?1?2?2??3

（C）?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1 （D）?1??2??3,2?1?3?2?22?3,3?1?5?2?5?3 2．设矩阵Am?n的秩R(A)?m?n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ D ] （A）A的任意m个列向量必线性无关 （B）A通过初等行变换，必可以化为（Em0）的形式

（C）A的任意m阶子式不等于零 （D）非齐次线性方程组Ax?b一定有无穷多组解 二．填空题：

?12?2???2?，三维列向量??(a,1,1)T，已知A?与?线性相关，则a = -1 1．设A??21?304???2．从R的基?1???0??，?2????1??到基?1???1??，?2???2??的过渡矩阵，即满足条件

????????2?1??1??1??1??23?（?1,?2）（=?1,?2）T的矩阵T为??-1-2?? ??三．计算题：

1．设?1?(?1,2,?1),?2?(3,?2,1),?3?(2,?2,1)，求由向量组a1,a2,a3所生成的向量空间

TTTL(a1,a2,a3)，并说明L(a1,a2,a3)是R3的一个非平凡子空间.

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