厦门理工线性代数练习册--2014版参考答案(3)

四、证明任意的方阵A可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

?A?AT解：设B???2

??A?AT?,C????2? ?,则A?B?C，显然B是对称阵，C是反对称阵。?T五、设A,B都是n阶方阵且A为对称矩阵，证明BAB也是对称矩阵。

证明：因为?BAB??BTATB?BTAB,则命题成立。

TT

B是对称矩阵，六、设A是反对称矩阵，证明：(1)A是对称矩阵；(2)AB?BA是对称矩阵；(3)AB是反对称矩阵的充要条件是AB?BA．

2证明：根据题意有AT??A,BT?B.(1)因为?A2???AA??ATAT???A???A??A2,则A2是对称阵；TTTTTTTTT(2)由于?AB?BA???AB???BA??BA?AB??BA?AB,则AB?BA是对称阵；(3)?AB???AB?BTAT??AB?B(?A)??AB?BA?AB.

T

线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.6 初等变换与初等矩阵

一、选择题

?a11?1．设A??a21?a?31a12a22a32a13??a21??a23?，B??a11?a?aa33?11??31a22a12a32?a12??010????a13?，P1??100?，

?001?a33?a13????a23?100???P2??010?，则必有B? [ C ]

?101???（A）AP1P2 （B）AP2P1 （C）P1P2A （D）P2P1A

?1?3二、把矩阵A???2??3?1?3?2?33534?43???41?化为行最简形矩阵然后再化成标准形 ??20??2?1?11

?1?0 ??0??00100000000000??0? ?0?0?三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵

?3?20?1???0221?? A???1?2?3?2???0121???r(A|E)???(E|A?1);11?2?4??3?20?11??1????211010?1??02?r?1???; ?1?2?3?2?1?1?1?136??????01??211?121?6?10????1?2?4??1??010?1??则该矩阵的逆为.??1?136????21?6?10???

?1 1?36???四、 对矩阵A??4?2 35?进行下面的系列初等变换，则相当于对矩阵A左乘或右乘可逆

?3 2?14???矩阵，请求出相应的可逆矩阵，并指出是左乘还是右乘．

(1) 交换A的第2列和第3列，然后再交换第3列和第4列．

(2) A的第1行的元素都乘以?2加到第2行对应的元素上，然后第2行乘以?1，最后交换第2行和第3行．

(3) A的第１列的元素乘以?3加到第3列对应的元素上去，接着在交换第2行和第3行，然

后交换第2列和第3列，最后第二行元素乘以?2．

五、求下面矩阵方程的解

?010??100??1?43???????100X001?20?1?????? ?001??010??1?20???????

12

?010??010?????解：100?100?????001??001??????100??100?????001?001?????010??010??????0?则X??1?0??01???10?00?10??1?43??100??????00??20?1??001??1?20??010?01??????

0??1?43??100??2?10????????0??20?1??001???13?4??????1????1?20??010??10?2?线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.7 矩阵的秩

一、选择题

1．设A，B都是n阶非零矩阵，且AB = 0，则A和B的秩 [ D ] （A）必有一个等于零 （B）都等于n （C）一个小于n，一个等于n （D）都不等于n 2．设m?n矩阵A的秩为s ，则 [ C ] （A）A的所有s－1阶子式不为零 （B）A的所有s阶子式不为零 （C）A的所有s +1阶子式为零 （D）对A施行初等行变换变成???1?1?1?1?Es?00?? ?0??11213???3．欲使矩阵?2s126?的秩为2，则s，t满足 [ C ]

?455t12???（A）s = 3或t = 4 （B）s = 2或t = 4 （C）s = 3且t = 4 （D）s = 2且t = 4

4．设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则 [ B ] （A）当m?n时，必有行列式|AB|?0 （B）当m?n时，必有行列式|AB|?0

13

（C）当n?m时，必有行列式|AB|?0 （D）当n?m时，必有行列式|AB|?0 二、填空题：

?02?1．设A??31?1?12?1??，则R(A)? 2

??13?44????121?2．已知A??23a?2???的秩为2，则a 应满足 a?1a?2??3或a??1 ??2a?2?1???

三、计算题

??21837?1． 设A??2?307?5????3?2580?，求R(A). ??10320?????21837??0??2?307?5??1032?5?r?2r?10??r1?r42?307?r21r3?3r1?4?2r0?3?3?2580???????3?0????1???0?2?10320???258?21837????01??10320??0320????r2?r4??012?17?1rr3?2r2?4?3012?17???r2???0?2?420??????000014??0?3?63?5????000016???10320???r16???4?14r3??012?17???000014??00000??故R(A)?3.

14

32?63?422?10?7??0?7??

?1?23k???2．设A ???12k?3?，问k为何值，可使 ⑴ R(A)?1 ⑵R(A)?2 ⑶R(A)?3

?k?23???

?23k??1??A?????02(k?1)3(k?1)??k?1?0?3(k?1)??若k?1?0,则R(A)?1;r2?r1r3?r1若k?1?0,则?23k?r?(k?1)r?1?23k?1?31??r3?r2??02(k?1)3(k?1)?????02(k?1)3(k?1)????:?B?k?1??0?0?3(k?1)0?3(k?2)(k?1)????|B|??6(k?2)(k?1)2若k??2,则|C|?0,但?1?20?6?6?0,故R(A)?2.若k??2,则|C|?0,故k?1且k??2时,R(A)?3.

四、设n阶方阵A满足A?4E,证明R(2E?A)?R(2E?A)?n.

2证明：已知A2?4E,则A2?4E?0,即(A+2E)(A?2E)?0,则有R(A?2E)?R(A?2E)?n,即R(2E?A)?R(2E?A)?n另一方面4E=2E?A+2E?A,则有R(2E?A)?R(2E?A)?R(4E)?n综上两个方面，有R(2E?A)?R(2E?A)?n成立。

15

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库厦门理工线性代数练习册--2014版参考答案(3)在线全文阅读。