安徽省“江淮十校协作体”2014届高三四月联考数学(文)试题 Word

“江淮十校协作体”四月联考卷数学试题（文）

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.请将答案写在答题卡上.

?1?|x|?2,?7.如果x,y满足不等式组?y?3,，那么目标函数的最小值是（ ）

?x?y?5,?A.-1 B.-3 C.-4 D.-9

第I卷（选择题 共50分）

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意. x2y218已知点P是以F1,F2为焦点的双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点，PF则双曲线的tan?PFF?PF?012121.在复平面上，复数

2+ii对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合M??x|y?x?,N??y|y?x2?2,x?R?,则MN? （ ）

A.[0,??) B.[?2,??) C.? D.[?2,0)

3.设a,b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使

a|a|?b|b|?0成立的是 A.a??13b B.a//b C.a,?2b D.a?b

4.“a?1”是“直线l1:ax?2y?1?0与l2:x?(a?1)y+4?0平行”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既充分而不必要条件

5.已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，始边在直线y?2x上，则cos2??sin2?等于 A.?45 B.?35 C.35 D.45

6.已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积（

A.

499? B.728283? C.3? D.9? ab离心率为

A.

62 B.2 C.5 D.52 9.已知点P是圆(x?1)2?y2?1上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为 ，若 d?f(?)的大致图像是 （ ）

10.在 ABC中，若对任意的??R，都有AB??AC?BC，则 ?ABC （ ） A.一定为锐角三角形 B.一定为钝角三角形 ）

C.一定为直角三角形 D.可以为任意三角形

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.若平面向量a,b满足a?b?2,a?b垂直于x轴，b??3,1?，则a?____ 12.给出右边的程序框图，那么输出的数是_______

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2OP?d,则函数

16. （本小题满分12分）已知函数f?x??4sinxcos?x?（1）求函数f?x?的最小正周期；

??????1 6?（2）当x???

?5???,?时，求函数f?x?的取值范围。 126??17.(本小题满分12分)

13.为了了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位为千克）全部介于45至70之间，将数据分成以下5组：第1组?45,50?，第2组?50,55?，第3组?55,60?，第4组?60,65?，第5组?65,70?，得到如图所示的频率分布直方图，则a?

14.已知定义在?0.???上的函数f?x??3x，若f?a?b??9，则f?ab?的最大值为______ 15.已知数列?an?满足an?n?knn?N?,0?k?1，给出下列命题： ①当k?②当

以下茎叶图记录了甲，乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩（十位数字为茎，个位数字为叶）.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示. (1)若甲，乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；

(2)当a?2时，分别从甲，乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率.

??1时，数列?an?为递减数列 2

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1?k?1时，数列?an?不一定有最大项 21③当0?k?时，数列?an?为递减数列

2k④当为正整数时，数列?an?必有两项相等的最大项

1?k请写出正确的命题的序号____

三．解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写于必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

18.(本小题满分12分）

如图，ABCD是边长为2的正方形，ED?平面ABCD，ED?1，EF//BD,且 EF?12BD. （1）求证：BF//平面ACE; （2）求证：平面EAC?平面BDEF; （3）求多面体ABCDEF的体积。

EFDCAB第18题图

19.(本小题满分13分）

已知直线x?y?1?0与椭圆x2y2 a2?b2?1(a?b?0)相交于A,B两点，点M是线段 AB上的一点，AM??BM且点M在直线l:y?12x上. （1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x2?y2?1上，求椭圆的方程.

20.(本小题满分13分）

已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，且3an?1?2Sn?3（n为正整数） （1）求数列?an?的通项公式；

（2）对任意正整数n，是否存在k?R,使得Sn?k恒成立？若存在，求是实数k的最大值；若不存在，说明理由.

21.(本小题满分13分）

已知函数f(x)?12x2?alnx?12(a?R,a?0). （1）当a?2时，求曲线y?f(x)在点(1,f(x))处的切线方程； （2）求函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意的x?[1,??),都有f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围.

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高考模拟卷 数学答案（文）

1、答案：D 解：

R?A?M?2?OM?2?(327， ??2)2?12?23328?，选C. 3则球的表面积为S?4?R2?7、答案：D

解析：在由已知条件所围成的两块区域中，使目标函数z?x?y取得最小值的最优解是

2?i(2?i)i2i?1???1?2i，对应复平面上的点为(1,?2)，在第四象限，故选D ii?i?1(-2,7).所以z=-2-7=-9，选D.

8、答案：C

解:由双曲线的定义知 PF122、答案：A

解：M?[0,+?)，N?[?2,??)，M?N=?0,???. 3、答案：A 解：

?PF22?F1F2c?2?4c2,tan?PF1F2?PF212?,?PF2?c, PF125ababab?0知??，即a与b反向，结表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，由?ababab 又PF1?PF2?2a，?2a?9、答案：D

25c?5 选C. a合四个选项知答案为A. 4、答案：A

解：“直线l1:ax?2y?1?0与l2:x?(a?1)y?4?0平行”的充要条件是a(a?1)?2?0，即a??2或a?1，故“a?1”是“直线l1:ax?2y?1?0与l2:x?(a?1)y?4?0平行”的充分不必要条件，故选A 5、答案 ：B

解法一：角?的终边在直线y?2x上，应用三角函数的定义，在终边上选点，又终边在直线上，故要分两种情况，

22分别选点A(1,2),B(?1,?2)，计算得r?5，则cos??sin???解析：当???0,?时，d?2cos?；当???,??时，d??2cos?，结合余弦函数图象知选D.

?2??2?10、答案：C

2222解析：设AB=c,AC=b,BC=a，将AB??AC?BC两边平方得c??b?2?cb?cosA?a即关于λ的不等式

???????2b2?2?cb?cosA?c2?a2?0在R上恒成立，因此△≤0，整理为a2?c2sin2A，再由正弦定理得sin2C?1,又sinC?1,故sinC=1，则角C为直角.

11、答案：a??3,3?或a??3,?1?

解：由题意知：a?b?(0,2)或（0，?2)，所以a??3,3?或a??3,?1?. 12、答案：2450 解：s?0?2?4?13、答案：0.04

23，故选B. 54?2sin????5法二：直线y?2x的斜率即为角?的正切，所以tan??2，利用同角三角函数关系，解得?，所以

?cos2??1?5?3cos2??sin2???，

5?98?(2?98)?49?2450.

2cos2??sin2?1?tan2?3???或转化为齐次分式cos??sin??，故选B

cos2??sin2?1?tan2?52解：由题意知?0.01?0.07?0.06?a?0.02??5?1得a?0.04. 14、答案：3

接球的球心为O，则球半

解答：f(a?b)?315、答案：③④

解：an?1?an?kn?1(n?1)?knn?(k?1)kn(n?第 4 页 共 6 页

a?b6、答案：C

解：由题意可知，该空间几何体为一正三棱柱.如图所示，记外径

?9?a?b?2，f(ab)?3ab?3k) 1?k?a?b????2?2?3.

对于①a1?a2?11kk时an?1?an，当,故不是递减数列，①错；②当?k?1时，k?1?0,?1，故当n?221?k1?k面ACE； ?????4分（Ⅱ）因ED⊥平面ABCD，得ED⊥AC,又ABCD

n?和akk时an?1?an，所以?an?一定有最大项，②错，且当为正整数时，?an?必有两相等的最大项，分别是ak1?k1?k1?kk?11?k是正方形，所以BD⊥AC，从而AC?平面BDEF，又AC?面ACE,故平面EAC?平面BDEF; ?????8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知AC?平面BDEF，且平面BDEF将多面体分成两ABDEF和四棱锥CBDEF.底面BDEF是直角梯形，

个四棱锥

，④正确；

对于③，当0?k?1kk时，所以an?1?an?(k?1)kn(n?数列数列?an?k?1?0,0??1，)?0对?n?N*恒成立，21?k1?k为递减数列，③正确.

16、解：（Ⅰ）因为f(x)?4sinx(SBDEF?1?EF?BD?ED?122?2?22?1??32, 231cosx?sinx)?1 221132VABCDEF?VA?BDEF?VC?BDEF?SBDEF?AC???22?2???12分

33219、解：（Ⅰ）由AM??BM知M是AB的中点，????????1分

设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)

?23sinxcosx?2sin2x?1 ???????3分 ?3sin2x?cos2x

?2sin(2x??6)， ????????5分

2???. ?????6分 2所以函数f(x)的最小正周期T?5????,] 所以2x??[??,].??????8分 （Ⅱ）因为x?[?12666?1所以sin(2x?)?[?1,]. ??????????10分

62所以2sin(2x??x?y?1?0,?由?x2y2?2?2?1.b?a得:(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0

?6)?[?2,1]. 所以函数f(x)的取值范围为[?2,1]. ??12分

2a22b2x1?x2?2,y1?y2??(x1?x2)?2?2， 22a?ba?ba2b2,) ∴M点的坐标为(2a?b2a2?b2??????4分

1117、解：（Ⅰ）解：依题意，得 (88?92?92)?[90?91?(90?a)]， ???? 3分

33解得 a?1. ??? 5分

（Ⅱ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件B，当a?2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3?3?9种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，

a22b2?2?0 又M点的直线l上：?222a?ba?b(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，

(92,92)， ??????7分

所以事件B的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，

?a2?2b2?2(a2?c2)?a2?2c2,?e?c2?.????7分 a2

注：由两直线方程联立解得M??21?,?，再利用点差法可求得离心率.?33?

1x上的对称点为(x0,y0)， 2 （Ⅱ）由（Ⅰ）知b?c，根据对称性，不妨设椭圆的右焦点F?b,0?关于直线l：y?(92,92). ?????? 10分

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率P(B)?7. ????12分 918、证：（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，连接EO，则可证BF∥EO，又EO?面ACE，BF?面ACE，故BF∥平

?y0?013????1,x?b0??x?b2??5 ??????11分

则有?0解得:??x0?b?2?y0?0.?y?4b.0??5?2?2第 5 页 共 6 页

由已知x2230?y0?1,?(b)2?(4b)2?1,?b255?1，

∴所求的椭圆的方程为 x22?y2?1????13分

20、解: （Ⅰ）因3an?1?2Sn?3 ① ?n?2时，3an?2Sn?1?3 ②??????2分 由① - ②得3an?1?3an?2an?0,?a1n?1?3an(n?2) ?????4分 又a11?1,3a2?2a1?3得a2?3,?a?123a1 ?????5分

?n?1故数列a1?1?n?是首项为1，公比q?3的等比数列,?an?a1qn?1???3?

? ???????????6分

（Ⅱ）假设存在满足题设条件的实数k，由（Ⅰ）知

n1??1?nSaqn)??3?1(1?3??1??1?q??n?1?1?2?1?????????8分

3???3???n由题意知，对任意正整数n恒有k?3??1?2??1?????3???，又数列??n?1???1?????单调递增,??8分 ?????3???所以，当n?1时数列中的最小项为

23，则必有k?1，即实数k最大值为1. ?? ?13分 21、解(Ⅰ)a?2时,f(x)?12x2?2lnx?12,f(1)?0 ????????1分

f'(x)?x?2x,f'(1)??1 ????????2分

曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x?y?1?0 ????????3分

(Ⅱ)f'(x)?x?ax2?ax?x(x?0)

①当a?0时, f'(x)?x2?ax?0恒成立,函数f(x)的递增区间为?0,??? ???5分 ②当a?0时,令f'(x)?0,解得x?a或x??a（舍去）

x ( 0, a) a (a,??) f’(x) - + f(x) 减 增 所以函数f(x)的递增区间为

?a,???,递减区间为(0,a) ????????8分

(Ⅲ)由题意知对任意的x?[1,??),f(x)?0,则只需对任意的

x?[1,??),f(x)min?0 ????9分

①当a?0时,f(x)在[1,+?)上是增函数,所以只需f(1)?0 ，而f(1)?12?aln1?12?0 ，所以a?0满足题意; ????????10分 ②当0?a?1时,0?a?1,f(x)在[1,+?)上是增函数, 所以只需f(1)?0

而f(1)?112?aln1?2?0所以0?a?1满足题意; ????????11分 ，

③当a?1时,a?1,f(x)在[1,a]上是减函数,[a,+?)上是增函数,所以只需f(a)?0即可 ，而

f(a)?f(1)?0 ，从而a?1不满足题意; ???????12分

综合①②③实数a的取值范围为(??,0)(0,1]. ????????13分

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