广东省佛山市普通高中2012届高三上学期教学质量检测(1)（数学理(2)

而BE?平面BEF，∴平面PAC?平面BEF ??????????7分 （2）方法一、如图，以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系.

则C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1) ??????????8分

????????????????1????224BF?BP?PF?BP?PA?(,,). ??????????10分

3333??设平面BEF的法向量m?(x,y,z).

由m?BF?0,m?BE?0得

????????????224x?y?z?0， 333即x?y?2z?0?????（1）

x?z?0 ?????（2） ??取x?1，则y?1,z??1，m?(1,1,?1). ??????????12分

取平面ABC的法向量为n?(0,0,1)

??????m?n3则cos?m,n??????，

3|m||n|故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为方法二、取AF的中点G，AB的中点M，连接CG,CM,GM，

?E为PC的中点，2PF?AF，∴EF//CG. ?????8分 ?CG?平面BEF,EF?平面BEF， ∴CG//平面BEF. ?????9分 同理可证：GM//平面BEF. 又CG?GM?G， ∴

3. ?????14分 3平面CMG//平面BEF.????10分

则平面CMG与平面ABC所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）

已知PB?底面ABC，AC?BC?2，CM?平面ABC ∴CM?PB，∴CM?AB ????11分 又PB?AB?B，∴CM?平面PAB 由于GM?平面PAB， ∴CM?GM 而CM为平面CMG与平面ABC的交线，

又?AM?底面ABC，GM?平面CMG

??AMG为二面角G?CM?A的平面角 ????12分

根据条件可得AM?2，AG?12PA?3 33在?PAB中，cos?GAM?AB6 ?AP36 ????13分 在?AGM中，由余弦定理求得MG?3cos?AMG?AM2?GM2?AG232AM?GM?3 故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. 18．（本题满分13分）

解：（1）∵??N(?,?2)，P(??12)?0.8，P(??24)?0.2，

∴P(??12)?0.2，显然P(??12)?P(??24) 由正态分布密度函数的对称性可知，??12?242?18， 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； （2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1?0.8?0.2， 假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为?支，则??B(4,0.2)， 故至少两支灯管需要更换的概率P?1?P(??0)?P(??1)

?1?C04140.8?C40.83?0.21?113625（写成?0.18也可以）.

19．（本题满分13分）

解：（1）设动点P的坐标为(x,y)，

圆C1的圆心C1坐标为(4,0)，圆C2的圆心C2坐标为(0,2)， 因为动点P到圆C1,C2上的点距离最小值相等，所以|PC1|?|PC2|, 即(x?4)2?y2?x2?(y?2)2，化简得y?2x?3， 因此点P的轨迹方程是y?2x?3； ????14分 ???????3分 ???????5分???????6分 ???????10分???????13分2分 ????????3分????????4分????????5分

????????

（2）假设这样的Q点存在，

因为Q点到A(?22,0)点的距离减去Q点到B(22,0)点的距离的差为4， 所以Q点在以A(?22,0)和B(22,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，

x2y2??1(x?2)上， ????????9分 即Q点在曲线

44?y?2x?3?又Q点在直线l:y?2x?3上， Q点的坐标是方程组?x2y2的解，????????11分

?1???44消元得3x?12x?13?0，??12?4?3?13?0，方程组无解，

所以点P的轨迹上不存在满足条件的点Q. ????????13分 20．（本题满分14分）

解：方法一在区间?0,???上,f?(x)?2211?ax?a?. ????????1分 xx（1）当a?2时，f?(1)?1?2??1，则切线方程为y?(?2)??(x?1)，即x?y?1?0 ????3分 （2）①若a?0,则f?(x)?0,f(x)是区间?0,???上的增函数,

Qf(1)??a?0,f(ea)?a?aea?a(1?ea)?0,

?f(1)?f(ea)?0,函数f(x)在区间?0,???有唯一零点. ????6分

②若a?0,f(x)?lnx有唯一零点x?1. ????7分 ③若a?0,令f?(x)?0得: x?1. a在区间(0,)上, f?(x)?0,函数f(x)是增函数; 在区间(,??)上, f?(x)?0,函数f(x)是减函数; 故在区间?0,???上, f(x)的极大值为f()?ln由f()?0,即?lna?1?0,解得:a?1a1a1a1?1??lna?1. a1a1. e故所求实数a的取值范围是(,??). ????9分 方法二、函数f(x)无零点?方程lnx?ax即a?令g(x)?1elnx在?0,???上无实数解 ????4分 xlnx1?lnx，则g?(x)? 2xx由g?(x)?0即

1?lnx?0得：x?e ????6分 x2在区间(0,e)上, g?(x)?0,函数g(x)是增函数; 在区间(e,??)上, g?(x)?0,函数g(x)是减函数; 故在区间?0,???上, g(x)的极大值为g(e)?1. ????7分 e注意到x?(0,1)时，g(x)????,0?；x?1时g(1)?0；x??1,???时，g(x)??0,?

?1?故方程a?lnxx在?0,???上无实数解?a?1e. 即所求实数a的取值范围是(1e,??). [注:解法二只说明了g(x)的值域是????,1???e?,但并没有证明.]

(3) 设x1?x2?0,Qf(x1)?0,f(x2)?0,?lnx1?ax1?0,lnx2?ax2?0

?lnx1?lnx2?a(x1?x2),lnx1?lnx2?a(x1?x2)

原不等式x1?x2?e2?lnx1?lnx2?2

?a(x21?x2)?2?lnx1?lnxx?2?lnx1?2(x1?x2) 1?x2x1?x2x2x1?x2令

x1x2(x1?x2)2(t?x?t,则t?1,于是ln1?1). 2x?lnt?2x1?x2t?1设函数g(t)?lnt?2(t?1)t?1(t?1), 求导得: g?(t)?14(t?1)2t?(t?1)2?t(t?1)2?0 故函数g(t)是?1,???上的增函数, ?g(t)?g(1)?0 即不等式lnt?2(t?1)t?1成立,故所证不等式x21?x2?e成立. 21．（本题满分14分） 解： (1)由点N在曲线y?x上可得N(11n,n), 又点在圆C上，则R2121n?1nnn?(n)?n?n??12,Rnn, ?e? ????9分

????12分 ????????14分 ????????1分 ????????2分 从而直线MN的方程为

xy??1, ????????4分 anRn由点N(,1n111n?1代入 ??1,将Rn?)在直线MN上得:

nnannn?Rn化简得: an?1?11?1?. ????????6分 nn(2) ?1?1n?1,1?1n?1,??n?N*,a11n?1?n?1?n?2 又?1?1n?1?111n?1,1?n?1?n?1, ?a1n?1n?1?1n?1?1?1n?1??1n?1?an?1 (3)先证:当0?x?1时,1?(2?1)x?1?x?1?x2. 事实上, 不等式1?(2?1)x?1?x?1?x2 ?[1?(2?1)x]2?1?x?(1?x)22

?1?2(2?1)x?(2?1)2x2?1?x?1?x?x24

?(22?3)x?(2?1)2x2?0?x24

后一个不等式显然成立,而前一个不等式?x2?x?0?0?x?1. 故当0?x?1时, 不等式1?(2?1)x?1?x?1?x2成立. ?1?(2?1)111n?1?n?1?2n, ?2?2?1n?a113n?1?n?1?n?2?2n(等号仅在n=1时成立) 求和得: 2n?2?Tn?S3n?2n?2?Tn ?7S?5?2?n2nT?3 n2 ????????7分 ????????9分

????????11分 ????????14分

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